问题及解答

证明:

\[
\begin{cases}
u=x+\sin y,\\
v=y-\frac{1}{2}\sin x
\end{cases}
\]

定义了平面上的一个正则坐标系.

回忆 $\mathbb{R}^n$ 中某个域 $C$ 上的一个正则坐标系(regular coordinate system)是指一个光滑函数组

\[
\begin{cases}
x^1=x^1(y^1,\ldots,y^n)\\
\vdots\\
x^n=x^n(y^1,\ldots,y^n)\\
\end{cases}
\]

其在每一点的 Jacobi 行列式都非零.

因此, 平面上的极坐标系并不是整个 $\mathbb{R}^2$ 上的正则的坐标系.

References:

Exercise 1.1 in the following book.

A.T.Fomeko and A.S.Mishchenko, A short course in differential geometry and topology.

该映射的 Jacobi 行列式是

\[
\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\
\frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 &\cos y\\
-\frac{1}{2}\cos x & 1
\end{vmatrix}=1+\frac{1}{2}\cos x\cos y
\]

由于 $|\cos x\cos y|\leq 1$, 所以上面的值不可能为零.