问题

证明:

$$\{\begin{array}{l}u=x+\sin y,\\ v=y-\frac{1}{2}\sin x\end{array}$$

定义了平面上的一个正则坐标系.

回忆 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个域 $C$ 上的一个正则坐标系(regular coordinate system)是指一个光滑函数组

$$\{\begin{array}{l}{x}^1=x^1(y^1,\dots ,y^n)\\ ⋮\\ x^n=x^n(y^1,\dots ,y^n)\end{array}$$

其在每一点的 Jacobi 行列式都非零.

因此, 平面上的极坐标系并不是整个 ${\mathbb{R}}^2$ 上的正则的坐标系.

References:

Exercise 1.1 in the following book.

A.T.Fomeko and A.S.Mishchenko, A short course in differential geometry and topology.