用记号 $[(V,v),(W,w)]$ 代表 pointed 道路度量空间 $(V,v)$ 到 $(W,w)$ 的所有连续映射的同伦等价类 $[f]$ 的集合. 这些连续映射 $f$ 满足将 $v$ 映为 $w$.

考虑 dilatation 不超过给定常数 $D$ 的所有连续映射 $f:(V,v)\rightarrow (W,w)$, 它们所在等价类组成一个集合, 其所含元素个数记为 $\#(D)$, 即

• 对于 $T^n$ 上度量加什么条件可以保证存在映射度为 $d$, dilatation 为 1 的映射 $f:T^n\rightarrow S^n$ ?
• 给定 $T^n$ 上一个度量, $d$ 为何值时, 存在映射度为 $d$, dilatation 小于 $D$ 的映射 $f:T^n\rightarrow S^n$ ?

Reference:
Mikhail Gromov, Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces (with Appendices by M.Kaz, P.Pansu, and S. Semmes)

1. 对任意映射 $f:S^n\rightarrow S^n$, 有 $|\deg(f)|\leqslant(\text{dil}(f))^n$.
2. 对每个 $n$, 存在常数 $c_n\in(0,1)$, 及映射度可任意大的映射序列 $f:S^n\rightarrow S^n$ 满足不等式 $|\deg(f)|>c_n(\text{dil}(f))^n$, 即\[ 0 < c_n\leqslant\limsup_{\deg(f)\rightarrow\infty}\frac{|\deg(f)|}{(\text{dil}(f))^n}\leqslant 1. \]

$z\in S^3$ 可以表示为 $(re^{i\theta},\rho e^{i\varphi})$, 其中 $r^2+\rho^2=1$. 定义映射 $f:S^3\rightarrow S^3$ 为 $f(z)=(re^{2i\theta},\rho e^{2i\varphi})$.

映射 $f$ 可以看成两个映射的复合: $z\mapsto(re^{2i\theta},\rho e^{i\varphi})$ 和 $z\mapsto(re^{i\theta},\rho e^{2i\varphi})$. 这两个映射的映射度均为2. 于是 $\deg(f)=4$.

此外, 我们有 \[ dz^2=dr^2+r^2 d\theta^2+d\rho^2+\rho^2 d\varphi^2, \] 及 \[ d(f(z))^2=dr^2+4r^2 d\theta^2+d\rho^2+4\rho^2 d\varphi^2\leqslant 4dz^2. \] 因此对每个 $z$ 有 $\text{dil}_z(f)\leqslant 2$. 由于 $S^3$ 是道路度量空间, 可知 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 从而根据问题229推出 $\text{dil}(f)=2$.

设 $f:S^n\rightarrow S^n$ 的 dilatation 严格小于 2, 即 $\text{dil}(f)<2$, 则 $\deg(f)\in\{1,0,-1\}$.

Remark: 条件 $\text{dil}(f)<2$ 不能放宽至 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 因为存在这个一个映射 $f:S^3\rightarrow S^3$, $\text{dil}(f)=2$, 但是 $\deg(f)=4$. 见问题230

进一步关于球面上的结果参见

• H. Hefter, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Bonner Math. Schriften (1980).
• R. Oliver, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Inv. Math., 1 (1966), 380-390.

度量空间 $X,Y$ 之间的 Hausdorff 距离(Hausdorff distance)定义为

两个度量空间 $X,Y$ 之间的 Lipschitz 距离(Lipschitz distance)定义为

其中 inf 取遍 $X$ 到 $Y$ 之间的所有双 Lipschitz 同胚映射(bi-Lipschitz homeomorphism). 根据惯例, 如果 $X,Y$ 之间没有双 Lipschitz 同胚映射, 则定义 $d_L(X,Y)=\infty$. 证明 $d_L$

• 是对称的;
• 满足三角不等式;
• $d_L(X,Y)=0$ 当且仅当 $X,Y$ 是等距同构的.