Questions in category: 度量几何 (Metric Geometry)
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21. $\varepsilon$-capacity

Posted by haifeng on 2011-07-24 10:15:10 last update 2011-07-24 10:25:27 | Answers (0) | 收藏


设 $X$ 是一 precompact (这里指全有界)道路度量空间, 对于 $\varepsilon>0$, $X$ 的 $\varepsilon$-capacity 是指用半径为 $\varepsilon$ 的球能够覆盖 $X$ 的最少个数, 记之为 $\text{Cap}_\varepsilon(X)$. 换句话说, $\text{Cap}_\varepsilon(X)$ 就是 $X$ 的 $\varepsilon$-网所允许的点的最少个数.

22. pointed 道路度量空间之间连续映射的同伦类

Posted by haifeng on 2011-07-24 09:56:37 last update 2011-08-26 15:45:30 | Answers (0) | 收藏


用记号 $[(V,v),(W,w)]$ 代表 pointed 道路度量空间 $(V,v)$ 到 $(W,w)$ 的所有连续映射的同伦等价类 $[f]$ 的集合. 这些连续映射 $f$ 满足将 $v$ 映为 $w$.

考虑 dilatation 不超过给定常数 $D$ 的所有连续映射 $f:(V,v)\rightarrow (W,w)$, 它们所在等价类组成一个集合, 其所含元素个数记为 $\#(D)$, 即

\[ \#(D):=\#\bigl\{[f]\in[(V,v),(W,w)]\ :\ \exists\,f\in\,[f],\ \text{s.t.}\ \text{dil}(f)\leqslant D\bigr\} \]

23. 控制 $T^n$ 到 $S^n$ 映射的 dilatation和映射度的条件是什么

Posted by haifeng on 2011-07-14 09:57:00 last update 2011-07-14 10:01:54 | Answers (0) | 收藏


  • 对于 $T^n$ 上度量加什么条件可以保证存在映射度为 $d$, dilatation 为 1 的映射 $f:T^n\rightarrow S^n$ ?
  • 给定 $T^n$ 上一个度量, $d$ 为何值时, 存在映射度为 $d$, dilatation 小于 $D$ 的映射 $f:T^n\rightarrow S^n$ ?

Reference:
Mikhail Gromov, Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces (with Appendices by M.Kaz, P.Pansu, and S. Semmes)

24. 平坦环面到同维数标准球面的映射与平坦环面单射半径之间的关系

Posted by haifeng on 2011-07-14 08:14:09 last update 2011-07-14 08:14:44 | Answers (0) | 收藏


Prop. 设 $T^n$ 为平坦环面, $\ell$ 为其上非零伦闭曲线的最短长度, 即 $\ell/2$ 是其单射半径. 则存在非零映射度且dilatation至多为1的映射 $f:T^n\rightarrow(S^n,\text{can})$ 当且仅当 $\ell\geqslant 2\pi$(即单射半径不小于 $\pi$).

25. 给定dilatation的球面到其自身的映射, 其映射度是有限制的.

Posted by haifeng on 2011-07-13 15:07:30 last update 2011-07-13 15:55:32 | Answers (1) | 收藏


  1. 对任意映射 $f:S^n\rightarrow S^n$, 有 $|\deg(f)|\leqslant(\text{dil}(f))^n$.
  2. 对每个 $n$, 存在常数 $c_n\in(0,1)$, 及映射度可任意大的映射序列 $f:S^n\rightarrow S^n$ 满足不等式 $|\deg(f)|>c_n(\text{dil}(f))^n$, 即\[ 0 < c_n\leqslant\limsup_{\deg(f)\rightarrow\infty}\frac{|\deg(f)|}{(\text{dil}(f))^n}\leqslant 1. \]

26. 构造映射 $f:S^3\rightarrow S^3$, 使得 $\deg(f)=4$, 且 $\text{dil}(f)=2$.

Posted by haifeng on 2011-07-13 14:44:15 last update 2017-08-12 21:14:40 | Answers (0) | 收藏


$z\in S^3$ 可以表示为 $(re^{i\theta},\rho e^{i\varphi})$, 其中 $r^2+\rho^2=1$. 定义映射 $f:S^3\rightarrow S^3$ 为 $f(z)=(re^{2i\theta},\rho e^{2i\varphi})$.

映射 $f$ 可以看成两个映射的复合: $z\mapsto(re^{2i\theta},\rho e^{i\varphi})$ 和 $z\mapsto(re^{i\theta},\rho e^{2i\varphi})$. 这两个映射的映射度均为2. 于是 $\deg(f)=4$.

此外, 我们有 \[ dz^2=dr^2+r^2 d\theta^2+d\rho^2+\rho^2 d\varphi^2, \] 及 \[ d(f(z))^2=dr^2+4r^2 d\theta^2+d\rho^2+4\rho^2 d\varphi^2\leqslant 4dz^2. \] 因此对每个 $z$ 有 $\text{dil}_z(f)\leqslant 2$. 由于 $S^3$ 是道路度量空间, 可知 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 从而根据问题229推出 $\text{dil}(f)=2$.

27. 球面到其自身的映射如果其dilatation严格小于2, 则其度为1,0,-1之一.

Posted by haifeng on 2011-07-13 13:48:37 last update 2011-07-13 15:59:58 | Answers (1) | 收藏


设 $f:S^n\rightarrow S^n$ 的 dilatation 严格小于 2, 即 $\text{dil}(f)<2$, 则 $\deg(f)\in\{1,0,-1\}$.

Remark: 条件 $\text{dil}(f)<2$ 不能放宽至 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 因为存在这个一个映射 $f:S^3\rightarrow S^3$, $\text{dil}(f)=2$, 但是 $\deg(f)=4$. 见问题230


Reference:
R. Osserman, Isoperimetric inequalities, Bull. Am. Math. Soc., 84 (1978).

进一步关于球面上的结果参见

  • H. Hefter, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Bonner Math. Schriften (1980).
  • R. Oliver, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Inv. Math., 1 (1966), 380-390.

28. 度量空间之间的 Hausdorff 距离

Posted by haifeng on 2011-07-11 11:29:09 last update 2011-07-11 11:29:09 | Answers (0) | 收藏


度量空间 $X,Y$ 之间的 Hausdorff 距离(Hausdorff distance)定义为

\[ \inf_{Z}\{d_H^Z(f(X),g(Y))\mid f:X\hookrightarrow Z,\ g:Y\hookrightarrow Z\mbox{为等距嵌入}\} \] 其中 inf 取遍所有度量空间 $Z$, 及所有 $X,Y$ 到 $Z$ 的等距嵌入.

29. 度量空间之间的 Lipschitz 距离

Posted by haifeng on 2011-07-11 09:38:17 last update 2011-07-11 09:44:46 | Answers (1) | 收藏


两个度量空间 $X,Y$ 之间的 Lipschitz 距离(Lipschitz distance)定义为

\[ d_L(X,Y)=\inf_{f}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\} \]

其中 inf 取遍 $X$ 到 $Y$ 之间的所有双 Lipschitz 同胚映射(bi-Lipschitz homeomorphism). 根据惯例, 如果 $X,Y$ 之间没有双 Lipschitz 同胚映射, 则定义 $d_L(X,Y)=\infty$. 证明 $d_L$

  • 是对称的;
  • 满足三角不等式;
  • $d_L(X,Y)=0$ 当且仅当 $X,Y$ 是等距同构的.

30. 计算圆周在三维欧氏空间中所有扭结的 distort 值.

Posted by haifeng on 2011-07-04 19:49:18 last update 2011-07-04 22:17:10 | Answers (0) | 收藏


更一般的, 给定一个拓扑空间 $X$, 计算所有嵌入映射 $X\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的 distort 值的下确界, 或只考虑那些位于同一 isotopy class 中的嵌入映射.
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