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Questions in category: 度量几何 (Metric Geometry).

球面到其自身的映射如果其dilatation严格小于2, 则其度为1,0,-1之一.

Posted by haifeng on 2011-07-13 13:48:37 last update 2011-07-13 15:59:58 | Answers (1) | 收藏

设 $f:S^n\rightarrow S^n$ 的 dilatation 严格小于 2, 即 $\text{dil}(f)<2$, 则 $\deg(f)\in\{1,0,-1\}$.

Remark: 条件 $\text{dil}(f)<2$ 不能放宽至 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 因为存在这个一个映射 $f:S^3\rightarrow S^3$, $\text{dil}(f)=2$, 但是 $\deg(f)=4$. 见问题230

Reference:
R. Osserman, Isoperimetric inequalities, Bull. Am. Math. Soc., 84 (1978).

进一步关于球面上的结果参见

H. Hefter, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Bonner Math. Schriften (1980).
R. Oliver, Über die Dehnung von Sphärenabbildungen, Inv. Math., 1 (1966), 380-390.