若 $f$ 不是满射, 则 $\deg(f)=0$. 于是我们可以假设 $f$ 是满射. 我们致力于构造 $f$ 的一个同伦逆. 令 $\varepsilon=2-\text{dil}(f)>0$.
Claim: 若 $B$ 是 $S^n$ 中的一个半径为 $\varepsilon$ 的球, 则原像 $f^{-1}(B)$ 被包含在一个开半球面中.
Pf. 设 $y$ 是 $B$ 的中心, $y\'$ 是 $y$ 在 $S^n$ 中的对径点. 固定一点 $x\'\in f^{-1}(y\')$. 若 $z\in f^{-1}(B)$, 则
\[d(x\',z)\geqslant\frac{1}{2-\varepsilon}d(y\',f(z))>\frac{\pi-\varepsilon}{2-\varepsilon}\geqslant\frac{\pi}{2},\]
(其中第一个不等号是由于 $\text{dil}(f)=2-\varepsilon$.) 这证明了 $f^{-1}(B)$ 被包含在与 $x\'$ 相对的开半球面中. Q.E.D
先对 $n=2$ 进行证明. 根据Claim, 由 $f^{-1}(B)$ 中三个点构成测地三角形(测地单形)是可以的. 现给定 $S^2$ 的一个三角剖分, 每个单形是测地的并且包含在半径为 $\varepsilon$ 的球内. 对每个顶点 $v$, 赋予点 $g(v)\in f^{-1}(v)$. 接下来, 我们将 $g$ 拓展为 $S^2\rightarrow S^2$ 的连续映射. 要求满足在由顶点 $v_1,v_2,v_3$ 所构成的测地单形上, 延拓后的 $g$ 等于由该测地单形所决定的唯一的线性映射, 其像是顶点为 $g(v_1),g(v_2),g(v_3)$ 的测地单形. 下面我们需要证明
Claim: $g\circ f$ 同伦于恒同映射.
Pf. 给定 $x\in S^2$, 设 $T$ 是包含 $f(x)$ 的测地三角形, $H$ 是包含 $f^{-1}(T)$ 的开的半球面. 根据定义, $g^{-1}(T)$ 的每个顶点位于 $f^{-1}(T)\subset H$ 中, 且由于 $g$ 是线性的, $H$ 是凸的, $g(T)\subset H$, 故 $(g\circ f)(x)\in H$. 这证明了 $d(x,g\circ f(x))<\pi$. 由于此不等式对于每个 $x\in S^2$ 都成立, 故可证 $g\circ f$ 同伦于恒同映射. Q.E.D
对于 $n>2$ 的情形, 我们可以类似地证明, 只需考虑由 $n+1$ 个点所构成的 $n$-维球面测地单形.
