设 $f$ 是 $I$ 到流形 $X$ 上的一个连续映射. 这里 $I$ 通常指单位区间 $[0,1]$ 或 $S^1$, 当然也可以是其他集合.
则 $\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)$ 为代表 $\alpha$ 的最短闭曲线 $\gamma_0$ 的长度.
这里 $\mathrm{dil}(f)$ 定义为
\[
\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}
\]
例 1. 考虑映射 $f:\ [0,3]\rightarrow [0,6]$. 具体定义为
\[
f(t)=\begin{cases}
t, & t\in[0,1]\\
2t-1, & t\in(1,2]\\
3t-3, & t\in(2,3]
\end{cases}
\]
这是一个连续映射. 计算得 $\mathrm{dil}(f)=3$.
可以看到 $\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}$ 实际上是映射 $f$ 在 $I$ 上的最大（割线）斜率. 有时可以认为等于其"最大切线斜率"（但是注意: 映射不一定处处可微的, 有的点处切线不存在.）
例2 . 设 $f:\ [0,3]\rightarrow S^1\subset\mathbb{R}^2$. 具体定义为
\[
f(t)=\begin{cases}
e^{i\frac{\pi}{2}t}, & t\in[0,1]\\
e^{i(\pi t-\frac{\pi}{2})}, & t\in(1,2]\\
e^{i\frac{\pi}{2}(t+1)}, & t\in(2,3]
\end{cases}
\]
可以计算得
\[\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\pi\]
例 3. 将上例中的 $f$ 复合上一个映射 $g:\ [0,1]\rightarrow [0,3]$. $g(s)=3s$. 即考虑 $h: I=[0,1]\rightarrow S^1\subset\mathbb{R}^2$, $h=f\circ g$. 即
\[
h(s)=\begin{cases}
e^{i\frac{\pi}{2}3s}, & s\in[0,\frac{1}{3}]\\
e^{i(\pi 3s-\frac{\pi}{2})}, & s\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\\
e^{i\frac{\pi}{2}(3s+1)}, & t\in(\frac{2}{3},1]
\end{cases}
\]
则可得
\[\mathrm{dil}(h)=\sup_{s\neq s'\\ s,s'\in I}\frac{d(h(s),h(s'))}{d(s,s')}=3\pi\]
可以看到
\[
\mathrm{dil}(h)=\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{dil}(g).
\]
最后, 我们来解释一下, 为何 $\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)$ 是代表 $\alpha$ 的最短曲线 $\gamma_0=\mathrm{Im}(f)$ 的长度.
当 $n=1$, 且 $\alpha\in\pi_1(X,x_0)$, $\|\alpha\|$ 的定义为
\[
\|\alpha\|=\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{vol}(B^1)
\]
这里 $B^1=I=[0,1]$, 故 $\mathrm{vol}(B^1)=1$.
回忆, 若 $\gamma$ 是定义在 $I=[0,1]$ 上的平面可微曲线, 则其长度为
\[
\mathrm{length}(\gamma)=\int_I |\dot{\gamma}|ds
\]
虽然 $\mathrm{dil}(f)$ 是某个映射 $f$ 的最大割线斜率, 但是这里取下确界 $\inf_{f\in\alpha}$. 在众多同伦于 $f$ 的映射中, 取达到“最小的”最大割线斜率的映射. 从而其 $\mathrm{dil}$ 值就等于这条曲线(也就是代表同伦类 $\alpha$ 的最短曲线, 记为 $\gamma_0$)的长度.
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$\pi_n(X,x_0)$ 上的群结构
http://www.atzjg.net/admin/do/view_question.php?qid=1662
