问题及解答

若 $f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 则函数 $t\mapsto\mathrm{dil}_t(f)$ 是可测的.

$f:[a,b]\rightarrow X$ 是 Lipschitz 映射, 根据定义是指

\[
\text{dil}(f)=\sup_{t,t\'\in[a,b]}\frac{d(f(t),f(t\'))}{|t-t\'|}<+\infty.
\]

记 $\lambda=\text{dif}(f)$, 从而 $d(f(t),f(t\'))\leqslant\lambda |t-t\'|$. 因此 $f$ 是连续映射.

\[
\text{dil}_t(f)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(t,\varepsilon)\cap[a,b]})=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{x,x\'\in(t-\varepsilon,t+\varepsilon)\cap[a,b]}\frac{d(f(x),f(x\'))}{|x-x\'|},
\]

由于 $\text{dil}(f)<+\infty$, 故对任意 $t\in[a,b]$, $\text{dil}_t(f)<+\infty$. 因此, $t\mapsto\text{dil}_t(f)$ 定义了 $[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ 的一个函数.

要证明 $g:t\mapsto\text{dil}_t(f)$ 是可测函数, 即要证, 对任意 $m\in\mathbb{R}$,

\[E(g>m)=\{x\in[a,b]\mid g(x)\in(m,+\infty]\}\]

是 $[a,b]$ 内的可测集.

设 $\text{dil}_t(f)>m$, 即 $t\in E(g>m)$, 则存在 $\varepsilon>0$, 使得,

\[\sup_{x,x\'\in(t-\varepsilon,t+\varepsilon)\cap[a,b]}\frac{d(f(x),f(x\'))}{|x-x\'|}>m,\]

$f$ 是连续映射, 因此, 可以不妨设对于 $x,x\'\in(t-\varepsilon,t+\varepsilon)\cap[a,b]$, 有

\[\frac{d(f(x),f(x\'))}{|x-x\'|}>m.\]

因此, 对任意 $s\in(t-\varepsilon,t+\varepsilon)$, 存在更小的 $\epsilon$, 使得 $(s-\epsilon,s+\epsilon)\subset(t-\varepsilon,t+\varepsilon)$, 且有

\[\sup_{x,x\'\in(s-\varepsilon,s+\varepsilon)\cap[a,b]}\frac{d(f(x),f(x\'))}{|x-x\'|}>m,\]

因此 $s\in E(g>m)$, 即 $E(g>m)$ 是一个开集, 当然是可测集.