问题及解答

设 $f$ 是 $I$ 到流形 $X$ 上的一个连续映射. 这里 $I$ 通常指单位区间 $[0,1]$ 或 $S^1$, 当然也可以是其他集合.

则 $\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)$ 为代表 $\alpha$ 的最短闭曲线 $\gamma_0$ 的长度.

 

这里 $\mathrm{dil}(f)$ 定义为

\[
\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}
\]

 

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例 1. 考虑映射 $f:\ [0,3]\rightarrow [0,6]$. 具体定义为

\[
f(t)=\begin{cases}
t, & t\in[0,1]\\
2t-1, & t\in(1,2]\\
3t-3, & t\in(2,3]
\end{cases}
\]

这是一个连续映射. 计算得 $\mathrm{dil}(f)=3$.

可以看到  $\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}$ 实际上是映射 $f$ 在 $I$ 上的最大（割线）斜率. 有时可以认为等于其"最大切线斜率"（但是注意: 映射不一定处处可微的, 有的点处切线不存在.）

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例2 . 设 $f:\ [0,3]\rightarrow S^1\subset\mathbb{R}^2$. 具体定义为

\[
f(t)=\begin{cases}
e^{i\frac{\pi}{2}t}, & t\in[0,1]\\
e^{i(\pi t-\frac{\pi}{2})}, & t\in(1,2]\\
e^{i\frac{\pi}{2}(t+1)}, & t\in(2,3]
\end{cases}
\]

可以计算得

\[\mathrm{dil}(f)=\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in I}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\pi\]

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例 3. 将上例中的 $f$ 复合上一个映射 $g:\ [0,1]\rightarrow [0,3]$. $g(s)=3s$. 即考虑 $h: I=[0,1]\rightarrow S^1\subset\mathbb{R}^2$, $h=f\circ g$. 即

\[
h(s)=\begin{cases}
e^{i\frac{\pi}{2}3s}, & s\in[0,\frac{1}{3}]\\
e^{i(\pi 3s-\frac{\pi}{2})}, & s\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\\
e^{i\frac{\pi}{2}(3s+1)}, & t\in(\frac{2}{3},1]
\end{cases}
\]

则可得 

\[\mathrm{dil}(h)=\sup_{s\neq s'\\ s,s'\in I}\frac{d(h(s),h(s'))}{d(s,s')}=3\pi\]

可以看到

\[
\mathrm{dil}(h)=\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{dil}(g).
\]

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最后, 我们来解释一下, 为何 $\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)$ 是代表 $\alpha$ 的最短曲线 $\gamma_0=\mathrm{Im}(f)$ 的长度.

 

当 $n=1$, 且 $\alpha\in\pi_1(X,x_0)$, $\|\alpha\|$ 的定义为

\[
\|\alpha\|=\inf_{f\in\alpha}\mathrm{dil}(f)\cdot\mathrm{vol}(B^1)
\]

这里 $B^1=I=[0,1]$, 故 $\mathrm{vol}(B^1)=1$.

回忆, 若 $\gamma$ 是定义在 $I=[0,1]$ 上的平面可微曲线, 则其长度为

\[
\mathrm{length}(\gamma)=\int_I |\dot{\gamma}|ds
\]

虽然 $\mathrm{dil}(f)$ 是某个映射 $f$ 的最大割线斜率, 但是这里取下确界 $\inf_{f\in\alpha}$. 在众多同伦于 $f$ 的映射中, 取达到“最小的”最大割线斜率的映射. 从而其 $\mathrm{dil}$ 值就等于这条曲线(也就是代表同伦类 $\alpha$ 的最短曲线, 记为 $\gamma_0$)的长度.

 

 

 

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阅读更多

$\pi_n(X,x_0)$ 上的群结构

http://www.atzjg.net/admin/do/view_question.php?qid=1662

 

Answer of 例1

(1) 若 $t,t'\in[0,1]$, 则 $f(t)=t$, $f(t')=t'$. 于是

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|t-t'|}{|t-t'|}=1.
\]

(2) 若 $t,t'\in[1,2]$, 则

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|(2t-1)-(2t'-1)|}{|t-t'|}=2.
\]

(3) 若 $t,t'\in[2,3]$, 则

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|(3t-3)-(3t'-3)|}{|t-t'|}=3.
\]

(4) 若 $0 < t < 1 < t' < 2$, 则

\[
\begin{split}
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}&=\frac{|t-(2t'-1)|}{|t-t'|}=\frac{|t-t'+1-t'|}{|t-t'|}\\
&\leqslant\frac{|t-t'|+|1-t'|}{|t-t'|}=1+\frac{|1-t'|}{|t-t'|}\\
&\leqslant 1+\frac{|1-t'|}{|1-t'|}\\
&=2
\end{split}
\]

其余情况类似, 不再赘述. 因此可得

\[
\sup_{t\neq t'\\ t,t'\in[0,3]}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=3.
\]

Answer of 例 2.

以下设 $t\neq t'$.

(1) 若 $t,t'\in[0,1]$, 

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|\frac{\pi}{2}t-\frac{\pi}{2}t'|}{|t-t'|}=\frac{\pi}{2}
\]

 

(2) 若 $t,t'\in[1,2]$, 

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|(\pi t-\frac{\pi}{2})-(\pi t'-\frac{\pi}{2})|}{|t-t'|}=\pi
\]

 

(3) 若 $t,t'\in[2,3]$, 

\[
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\frac{|\frac{\pi}{2}(t+1)-\frac{\pi}{2}(t'+1)|}{|t-t'|}=\frac{\pi}{2}
\]

 

(4) 若 $t\in[0,1]$, $t'\in[1,2]$, 则 

\[
\begin{split}
\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}&=\frac{|(\pi t'-\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{2}t|}{|t-t'|}\\
&=\frac{|\frac{\pi}{2}(t'-t)+\frac{\pi}{2}t'-\frac{\pi}{2}|}{|t-t'|}\\
&=\frac{\frac{\pi}{2}(t'-t)+\frac{\pi}{2}(t'-1)}{t'-t}\\
&=\frac{\pi}{2}+\frac{\frac{\pi}{2}(t'-1)}{t'-t}\\
&< \frac{\pi}{2}+\frac{\frac{\pi}{2}(t'-1)}{t'-1}\\
&=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\\
&=\pi
\end{split}
\]

其余情况可类似分析, 最终得

\[
\sup_{t,t'\in[0,3]\\ t\neq t'}\frac{d(f(t),f(t'))}{d(t,t')}=\pi.
\]