设 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(Y)$ 是通常的 Lipschitz 函数空间. 其中 $Y$ 是度量空间.

令 $\mathcal{L}/\text{const}$ 是 $\mathcal{L}$ 模去加法常数的空间. 即若 $f\in\mathcal{L}$, 则对于任意常数 $a$, 都定义 $f+a\sim f$.

设 $\mu=d_\mu\ell$ 是空间 $\mathcal{L}/\text{const}$ 上的一个 Borel 测度. $X$ 是度量空间. 对于映射 $f:X\rightarrow Y$, 及常数 $1\leqslant q\leqslant+\infty$, 定义 $f$ 的 $L_q$-dilation 为:

\[
\|\text{dil}^* f\|_{L_q(\mu)}:=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^q(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/q}
\]

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例子:

设 $Y$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$,

let $\mu$ be supported on the $n$ orthogonal projections (modulo constants) of $\mathbb{R}^n$ onto the coordinate axes with equal weight 1 assigned to all projections.

也就是说 $\mu$ 对于每个投影 $\text{proj}_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ via $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_i$ 上的测度是 1. 因此每个等距映射 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ 都有

\[
\begin{split}
\|\text{dil}^* f\|_{L_2(\mu)}&=\biggl(\int_{\mathcal{L}/\text{const}}\text{Lip}^2(\ell\circ f)d_\mu\ell\biggr)^{1/2}\\
&=\biggl(\sum_{i=1}^m\text{Lip}^2(\ell\circ f)\cdot 1\biggr)^{1/2}\\
&=\sqrt{m}
\end{split}
\]

注意由于 $f$ 是等距映射, 故 $\ell\circ f$ 的 Lipschitz 常数为 1.

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References:

M. Gromov

1. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\rightarrow Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

\[
\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}
\]

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in[0,+\infty]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 $\text{dil}_f$ 为:

\[
\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},
\]

于是,

\[
\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).
\]

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也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

\[
\begin{split}
\text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\
=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.
\end{split}
\]

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映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

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易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

\[
\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

其中 $\text{diam}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 Answers)

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References:

M. Gromov,

1. Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]

在 $n$ 维实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 上定义向量之间的距离(或点之间的距离)

\[d(x,y):=|x-y|=\biggl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\biggr)^{\frac{1}{2}}.\]

其中 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$.

证明: 函数 $d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个度量, 即满足度量的三个条件, 特别是三角不等式

\[d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z).\]

我们把这个度量称为欧氏度量. 所得的度量空间称为 $n$ 维欧氏空间, 记为 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,d)$.

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Hint: 利用 Cauchy-Schwarz 不等式.

Lemma. 设 $(X,d)$ 是一紧致道路度量空间, $a,b\in X$, 则存在一条长度等于 $d(a,b)$ 的曲线连接 $a$ 和 $b$.

对于完备、非紧但是局部紧的道路度量空间, 结论也成立.

设 $X$ 是 $n$ 维闭可定向流形, $Y$ 是 $n$ 维标准球面与 $k$-维环面 $T^k=S^1\times\cdots\times S^1$ 组成的球束(bouquet), 即 $Y=S^n\wedge T^k$, 求 $\#(D)$.

• 若 $k\geqslant n$, 则 $\#(D)\geqslant 2^{c\'D^n}$, 其中 $c\'=c\'_n(X) > 0$.
• 若 $k < n$, 则 $\#(D)$ 是 $D^{D^k}$ 数量级的, 即存在常数 $c_0,c_1$(依赖于 $n$ 和 $X$), 使得
  \[ (c_0 D)^{(c_0 D)^k}\leqslant\#(D)\leqslant(c_1 D)^{(c_1 D)^k} \]

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特别的, 当 $X=S^n$, 且 $k\geqslant n$ 时, 有估计 $c\'\geqslant n^{-10n}$. 如当 $n=2$ 时, 有

\[ 2^{0.0003D^2}\leqslant\#(D)\leqslant 4^{\pi^2 D^2}. \]

记号 $\#(D)$ 的含义请见问题244.

• 欧氏空间 $\mathbb{E}^{n}$ 中考虑单位球 $B(0,1)$, 现在要用半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖 $B(0,1)$, 请问至少需要多少个这样的球?
• 考虑单位球面 $S^n(1)$, 现试用该球面上半径为 $\epsilon$ 的球 $B_\epsilon$ 覆盖此球面, 问至少需要多少个这样的小球?

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注意到欧氏空间 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中单位球面 $S^n$ 的面积为 \[\text{area}(S^n)=\frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}.\]

设 $M^n$ 是一 $n$ 维闭的单连通流形, $0<\delta\leqslant 1$. Klingenberg 和 Sakai 猜测存在常数 $i_0=i_0(M,\delta)>0$, 使得 $M$ 上满足 $\delta\leqslant K_g\leqslant 1$ 的任意黎曼度量 $g$, 其单射半径 $\text{injrad}_g$ 大于等于 $i_0$.

当 $n$ 是偶数时, 这可由 Klingenberg 1959 年的一个结果 得到.

注意到 $[(S^1,p),\,(S^1\wedge S^1)]$ 是具有两个生成元的自由群.

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记号 $\#(D)$ 含义请见 问题244.

以 Élie Cartan, Aleksandr Danilovich Aleksandrov and Victor Andreevich Toponogov 名字命名的一类特殊的度量空间. 其曲率有上界 $\kappa$.

Def($\text{CAT}(\kappa)$ 空间)

度量空间 $X$ 称为是一个 $\text{CAT}(\kappa)$ 空间, 如果对 $X$ 中所有满足 $d(x,y)<D_\kappa$ 的点对 $x,y$, 存在一条连接 $x$ 到 $y$ 的测地线, 并且 $X$ 中所有周长小于 $2D_\kappa$ 的三角形都是 $\kappa$-thin 的.

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References:

Lang, U., and Schroeder, V. Kirszbraun\'s theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7, 3 (1997), 535–560.
 

设 $(X,x_0),(Y,y_0)$ 是 precompact 的 pointed 道路度量空间. 它们具有下述性质:

对于从 $X$ 到 $Y$ 的 uniformly \"close\" mapping, 它们是同伦的. (如 $Y$ 是流形或有限多面体的情形)

则存在仅依赖于 $Y$ 的两个常数 $c,c\'$, 使得

\[ \#(D)\leqslant c^{\text{Cap}_{1/(c\'D)}(X)}. \]

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推论:若 $X$ 是 $n$ 维紧致黎曼流形, 则有

\[ \#(D)\leqslant c^{(c\'D)^n}. \] Remark: 应为 \[\#(D)\leqslant c^{N_{X,\varepsilon}\cdot(c\'D)^n},\] 其中 $N_{X,\varepsilon}$ 是与 $n$ 维紧致黎曼流形 $X$ 及 $\varepsilon$ 有关的一个数.

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相关记号参见pointed 道路度量空间之间连续映射的同伦类.