问题及解答

设 $X$ 是 $n$ 维闭可定向流形, $Y$ 是 $n$ 维标准球面与 $k$-维环面 $T^k=S^1\times\cdots\times S^1$ 组成的球束(bouquet), 即 $Y=S^n\wedge T^k$, 求 $\#(D)$.

• 若 $k\geqslant n$, 则 $\#(D)\geqslant 2^{c\'D^n}$, 其中 $c\'=c\'_n(X) > 0$.
• 若 $k < n$, 则 $\#(D)$ 是 $D^{D^k}$ 数量级的, 即存在常数 $c_0,c_1$(依赖于 $n$ 和 $X$), 使得
  \[ (c_0 D)^{(c_0 D)^k}\leqslant\#(D)\leqslant(c_1 D)^{(c_1 D)^k} \]

特别的, 当 $X=S^n$, 且 $k\geqslant n$ 时, 有估计 $c\'\geqslant n^{-10n}$. 如当 $n=2$ 时, 有

\[ 2^{0.0003D^2}\leqslant\#(D)\leqslant 4^{\pi^2 D^2}. \]

记号 $\#(D)$ 的含义请见问题244.

1. 设 $k\geqslant n$.

对每个 $D\geqslant 0$, 容易证明存在一个映射 $\bar{f}_0:X\rightarrow\mathbb{R}^k$, 作为 $f_0:X\rightarrow T^k$ 的万有覆盖提升, 使得 $\text{dil}(\bar{f}_0)\leqslant D$, 且其像 $\bar{f}_0(X)\subset\mathbb{R}^k$ 覆盖了 $\mathbb{R}^k$ 中至少 $cD^n$ 个标准单位方体. 每一个这样的方体都是 $\mathbb{Z}^k$ 作用在 $\mathbb{R}^k$ 上从而得到 $k$-环面 $\mathbb{R}^k/\mathbb{Z}^k$ 的基本域(fundamental domain).

由于 $Y$ 的万有覆盖 $\tilde{Y}$ 等于 $\mathbb{R}^k$ 在这些方体的中心粘合上一个 $n$-维球面 $S^n$, 故我们可以对 $\bar{f}_0$ 作 "bubble"(吹泡泡), 即在方体的中心冒出一个泡泡(空心球体). 对于 $X$ 到 $\tilde{Y}$ 的映射来讲, 至少可以构造出 $2^{cD^n}$ 种不同的映射, 且它们彼此互不同伦(注意到 $S^n$ 不能连续收缩到一点). 因此至少有 $2^{cD^n}$ 个互不同伦的映射 $\tilde{f}_j:X\rightarrow\tilde{Y}$. 这些映射的 dilatation 比 $D$ 稍大, 记为 $D\'$. (这是因为 $\tilde{f}_j$ 比 $\bar{f}_j$ 值域进行了扩张.) 将这些映射投影到 $Y$ 上, 得到 $f_k:X\rightarrow Y$. 但不是所有的映射都是符合要求的. 记住我们所要做的是对 $\#(D)$ 进行有效估计, 所以 dilatation 大于 $D$ 的那些映射除非将它们缩放至小于等于 $D$, 否则不能计算在内. 由于体积是一定的, 因此 $cD^n=c\'D\'^n$. 故对于那些 dilatation 不超过 $D\'$ 的映射进行缩放, 使其 dilatation 小于等于 $D$, 从而 $X$ 到 $Y$ 符合要求的映射至少有 $2^{c\'D^n}$ 个.

因此我们断言 $\#(D)\geqslant 2^{c\'D^n}$.