问题

设 $X$ 是 $n$ 维闭可定向流形, $Y$ 是 $n$ 维标准球面与 $k$-维环面 $T^k=S^1\times\cdots\times S^1$ 组成的球束(bouquet), 即 $Y=S^n\wedge T^k$, 求 $\#(D)$.

• 若 $k\geqslant n$, 则 $\#(D)\geqslant 2^{c\'D^n}$, 其中 $c\'=c\'_n(X) > 0$.
• 若 $k < n$, 则 $\#(D)$ 是 $D^{D^k}$ 数量级的, 即存在常数 $c_0,c_1$(依赖于 $n$ 和 $X$), 使得
  \[ (c_0 D)^{(c_0 D)^k}\leqslant\#(D)\leqslant(c_1 D)^{(c_1 D)^k} \]

特别的, 当 $X=S^n$, 且 $k\geqslant n$ 时, 有估计 $c\'\geqslant n^{-10n}$. 如当 $n=2$ 时, 有

\[ 2^{0.0003D^2}\leqslant\#(D)\leqslant 4^{\pi^2 D^2}. \]

记号 $\#(D)$ 的含义请见问题244.