问题及解答

Lemma. 设 $(X,d)$ 是一紧致道路度量空间, $a,b\in X$, 则存在一条长度等于 $d(a,b)$ 的曲线连接 $a$ 和 $b$.

对于完备、非紧但是局部紧的道路度量空间, 结论也成立.

对于紧致情形.

只需考虑以弧长为参数的曲线簇 $\{f:[0,1]\rightarrow X\}$. 根据道路度量空间的定义, 对每个正整数 $n$, 存在曲线 $f_n$ 连接 $a,b$, 且满足 $\ell(f_n)\leq d(a,b)+\frac{1}{n}$. 这些 $f_n$ 构成的集合是等度连续的(equicontinuous). 因此根据 Ascoli 定理, 存在一子列 $\{f_{n_k}\}$ 一致收敛到某条曲线 $f:[0,1]\rightarrow X$. 由于长度函数 $\ell$ 是下半连续的, 故有

\[\ell(f)\leq\liminf_{k\rightarrow\infty}\ell(f_{n_k})=d(a,b).\]

对于完备、非紧但是局部紧的情形, 只需注意到曲线 $f_n$ 的像的选取是在紧致球 $B(a,2d(a,b))$ 中选取即是了.

注:

(1)若 $X$ 是黎曼流形, 且是道路度量空间, 则上述证明中所用的长度是黎曼流形上自然赋予的长度结构.

(2)该引理有关等度连续的论述也证明了: 在紧致道路度量空间中, 每个 free homotopy class 可被一条长度最短的曲线所代表, 并且这些最短曲线就是测地线. 并且, 如果 $X$ 是一流形, 则对每个实数 $r$, 被长度小于 $r$ 的曲线所代表的同伦类只有有限多个. (这只需利用 Ascoli 定理及同伦类是 $C^0(S^1,X)$ 中的开子集这一事实. cf. [Dieu] P.188)

References:

[Dieu] J. Dieudonne, Elements d\'Aanlyse, tome 3, Gauthiers Villars (1970). New York, 1992.