设 $(X,x_0),(Y,y_0)$ 是 precompact 的 pointed 道路度量空间. 它们具有下述性质:
则存在仅依赖于 $Y$ 的两个常数 $c,c\'$, 使得
\[ \#(D)\leqslant c^{\text{Cap}_{1/(c\'D)}(X)}. \]推论:若 $X$ 是 $n$ 维紧致黎曼流形, 则有
\[ \#(D)\leqslant c^{(c\'D)^n}. \] Remark: 应为 \[\#(D)\leqslant c^{N_{X,\varepsilon}\cdot(c\'D)^n},\] 其中 $N_{X,\varepsilon}$ 是与 $n$ 维紧致黎曼流形 $X$ 及 $\varepsilon$ 有关的一个数.相关记号参见pointed 道路度量空间之间连续映射的同伦类.
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根据 $Y$ 的性质, 对于一致靠近的两个映射 $f_0,f_1:X\rightarrow Y$, 它们一定是同伦的. 所谓一致靠近, 是指存在不依赖于 $X$ 的常数 $\delta>0$, 使得 $d(f_0(x),f_1(x))<\delta$ 对每个 $x\in X$ 成立.
设 $R_Y$ 是 $Y$ 中的一个 $\frac{\delta}{4}$-网, 令 $\varepsilon=\frac{\delta}{4D}$, 并设 $R_X$ 是 $X$ 中的一个 $\varepsilon$-网. 如 $f:X\rightarrow Y$ 满足 $\text{dil}(f)\leqslant D$, 则 $f$ 将 $X$ 中半径为 $\varepsilon$ 的球映至 $Y$ 中半径为 $\frac{\delta}{4}$ 的球.
我们首先证明 $\#(D)$ 是有限的.
假设 $f:X\rightarrow Y$ 满足 $\text{dil}(f)\leqslant D$ 并定义映射 $\hat{f}:R_X\rightarrow\mathcal{P}(R_Y)$ 为
\[x\mapsto \{y\in R_Y\mid d(y,f(x))<\frac{\delta}{4}\}.\]
假设 $g:X\rightarrow Y$ 满足 $\text{dil}(g)\leqslant D$ 且对每个 $x\in X$, $\hat{f}(x)\cap\hat{g}(x)\neq\emptyset$.
则对每个 $x\in R_X$, 存在某个 $y\in R_Y$ 使得 $d(y,f(x))<\frac{\delta}{4}$ 且 $d(y,g(x))<\frac{\delta}{4}$. 若 $z\in B_X(x,\varepsilon)$, 则 $d(f(z),f(x))<\frac{\delta}{4}$, 且 $d(g(z),g(x))<\frac{\delta}{4}$, 从而
\[d(f(z),g(z))\leqslant d(f(z),f(x))+d(f(x),y)+d(y,g(x))+d(g(x),g(z))<\delta,\]
因而根据条件 $f$ 同伦于 $g$. 特别的, 我们已经证明了如果 $\hat{f}=\hat{g}$, 则 $f$ 同伦于 $g$. 这就证明了
\[\#(D)\leqslant\bigl(\text{card}\mathcal{P}(R_Y)\bigr)^{\text{card}(R_X)}.\]
接下来，对于每个同伦类 $\alpha$, 选取一个代表元 $f_\alpha$, 并对每个 $x\in R_X$, 固定一个元素 $f_\alpha(x)$, 记之为 $\hat{\alpha}(x)$. (注意, $f_\alpha(x)$ 实际上是一个集合.) 因此 $\hat{\alpha}$ 是 $R_X$ 到 $R_Y$ 的一个映射.
若 $\hat{\alpha}=\hat{\beta}$, 则 $f_\alpha(x)\cap f_\beta(x)\neq\emptyset$, 对所有 $x\in R_X$. 于是 $f_\alpha$ 同伦于 $f_\beta$, 故而 $\alpha=\beta$. 于是映射 $\alpha\mapsto\hat{\alpha}$ 是单射, 从而
\[\#(D)\leqslant\bigl(\text{card}(R_Y)\bigr)^{\text{card}(R_X)}.\]
通过取由最少个数的点组成的网 $R_X$, 即 $X$ 的 $\varepsilon$-capacity: $Cap_\varepsilon(X)$, 我们得
\[\#(D)\leqslant c^{\text{Cap}_{1/(c\'D)}(X)}\]
其中 $c=\text{card}(R_Y)$, $c\'=\frac{4}{\delta}$.
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推论的证明:
这里利用上面的结论, $c\'D=\frac{4}{\delta}D=\frac{4}{\delta}\cdot\frac{\delta}{4\varepsilon}=\varepsilon^{-1}$. 因此需要估计 $\text{Cap}_{\varepsilon}(X)$.
由于 $X$ 是 $n$ 维黎曼流形, 所以 $X$ 中每一点都存在一个小邻域几乎等距同构于 $n$ 维欧氏空间中的一个小邻域. 因此 $X$ 中半径为 $\varepsilon$ 的小球的体积近似等于 $n$ 维欧氏空间中半径为 $\varepsilon$ 的小球的体积 $\text{vol}(B(0,1))\cdot\varepsilon^n$. 在 $n$ 维欧氏空间中, 如果有 $N$ 个半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖了单位球 $B(0,1)$, 则必有
\[N\geqslant\frac{\text{vol}(B(0,1))}{\text{vol}(B(0,\varepsilon))}=\varepsilon^{-n}.\]
N 的估计参见球覆盖问题.
$X$ 是紧致的, 故对于任意开覆盖, 都有有限子覆盖. 因此对于给定的 $\varepsilon$-球覆盖, 在所有有限子覆盖中存在所用小球个数最少的子覆盖.
可见, 要用 $X$ 中半径为 $\varepsilon$ 的小球来覆盖 $X$, 其个数应该与 $\varepsilon^{-n}$ 同一个数量级. 即 $\text{Cap}_\varepsilon(X)\simeq N_{X,\varepsilon}\cdot\varepsilon^{-n}$. 其中 $N_{X,\varepsilon}$ 与 $X$ 及 $\varepsilon$ 有关.
因此, 此时有估计
\[\#D\leqslant c^{N_{X,\varepsilon}\cdot(c\'D)^n}.\]