问题

设 $(X,x_0),(Y,y_0)$ 是 precompact 的 pointed 道路度量空间. 它们具有下述性质:

对于从 $X$ 到 $Y$ 的 uniformly \"close\" mapping, 它们是同伦的. (如 $Y$ 是流形或有限多面体的情形)

则存在仅依赖于 $Y$ 的两个常数 $c,c\'$, 使得

\[ \#(D)\leqslant c^{\text{Cap}_{1/(c\'D)}(X)}. \]

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推论:若 $X$ 是 $n$ 维紧致黎曼流形, 则有

\[ \#(D)\leqslant c^{(c\'D)^n}. \] Remark: 应为 \[\#(D)\leqslant c^{N_{X,\varepsilon}\cdot(c\'D)^n},\] 其中 $N_{X,\varepsilon}$ 是与 $n$ 维紧致黎曼流形 $X$ 及 $\varepsilon$ 有关的一个数.

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相关记号参见pointed 道路度量空间之间连续映射的同伦类.