问题及解答

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\rightarrow Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

\[
\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}
\]

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in[0,+\infty]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 $\text{dil}_f$ 为:

\[
\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},
\]

于是,

\[
\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).
\]

也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

\[
\begin{split}
\text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\
=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.
\end{split}
\]

映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

\[
\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

其中 $\text{diam}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 Answers)

References:

M. Gromov,

1. Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]

下面证明 Lipschitz 常数的这两种定义方式等价.

首先注意的是, 第二种定义中 $B$ 取遍 $X$ 中的所有有界集, 但由于取直径, 因此不妨考虑所有有界闭集. 于是对于取定的 $B$, 存在 $x_1,x_2\in B$, 使得 $\text{d}_X(x_1,x_2)=\text{diam}_X(B)$.

但 $d_Y(f(x_1),f(x_2))\leqslant\text{diam}_Y(f(B))$, 因此

\[
\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}\leqslant\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

因此有

\[
\sup_{x_1\neq x_2\in X}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}\leqslant\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

反之是类似的, 假设存在两点 $y_1,y_2\in f(B)$, 使得 $d_Y(y_1,y_2)=\text{diam}_Y(f(B))$. 注意某种情况下(主要是当映射 $f$ 不那么好时)是不存在这样两点的. 此时可以取到两个序列 $\{y_1^n\}_{n=1}^{+\infty}$, $\{y_2^n\}_{n=1}^{+\infty}$, 使得 $d_Y(y_1^n,y_2^n)\rightarrow\text{diam}_Y(f(B))$.

不妨就前一种情形来讨论. 后一种情形的讨论是类似的.

此时可设 $x_1,x_2\in B$ 使得 $y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$. 从而

\[
\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}\leqslant\frac{d_Y(y_1,y_2)}{d_X(x_1,x_2)}.
\]

从而

\[
\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}\leqslant\sup_{x_1\neq x_2\in X}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}.
\]