问题

设 $X,Y$ 是两个度量空间, 映射 $f:X\rightarrow Y$ 的 dilatation (缩放量度)定义为

\[
\text{dil}(f):=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}
\]

这里 $d_X,d_Y$ 分别指度量空间 $X,Y$ 上的距离函数. 显然 $\text{dil(f)}\in[0,+\infty]$.

为方便, 定义 $X\times X$ 上的函数 $\text{dil}_f$ 为:

\[
\text{dil}_f(x_1,x_2):=\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)},
\]

于是,

\[
\text{dil}(f)=\sup_{x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2}\text{dil}_f(x_1,x_2).
\]

也可以定义 $f$ 在一点处的局部缩放量度(local dilatation):

\[
\begin{split}
\text{dil}_x(f):=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\text{dil}(f|_{B(x,\varepsilon)})\\
=&\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\sup_{s,t\in B(x,\varepsilon),s\neq t}\frac{d_Y(f(s),f(t))}{d_X(s,t)}.
\end{split}
\]

映射 $f$ 称为

• Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f) < +\infty$;
• $\lambda$-Lipschitz 的, 如果 $\text{dil}(f)\leqslant\lambda$.

此时称 $\text{dil}(f)$ 为 $f$ 的 Lipschitz 常数. 也记为 $\text{Lip}(f)$.

易见, Lipschitz 常数等价于下面的定义:

\[
\text{Lip}(f):=\sup_{B\subset X}\frac{\text{diam}_Y(f(B))}{\text{diam}_X(B)}.
\]

其中 $\text{diam}_Y()$ 是指在度量空间 $Y$ 中的直径函数. 上确界是对于取遍 $X$ 中的有界集而言的.

Question: 证明上面两种定义是等价的. (证明见 Answers)

References:

M. Gromov,

1. Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2. Hilbert Volume in Metric Spaces, Part 1, May 4, 2011. [pdf]