问题及解答

注意到 $[(S^1,p),\,(S^1\wedge S^1)]$ 是具有两个生成元的自由群.

假设 $[(S^1,p),\,(S^1\wedge S^1)]$ 是由 $a_1,a_2$ 生成. 这是一个自由群, 其成员称为 word. 这个群中长度为 $k$ 的一个 word 的获取可以认为是在长度为 $k-1$ 的 word $x$ 的基础上添加字母 $a_1$, $a_2$, $a_1^{-1}$, $a_2^{-1}$ 中的一个, 但必须与 $x$ 最后一个字母不同. 因此除第一个字母外, 每次添加时总有三种可能选择, 因此长度 $\leqslant k$ 的 word 共有 $4\cdot 3^{k-1}$ 个. 于是由长度为 $k$ 的某个 word 所代表的映射 $f:X\rightarrow Y$ 的最小可能的 dilatation 就是 $k$. 这就证明了 $\#(D)=4\cdot 3^{D-1}$.

而如果根据 问题247, 则得到的估计是 $\#(D)\leqslant 3^{4D}$, 注意这里取 $R_Y$ 为 $S^1\wedge S^1$ 中这样三个点, 它们共线且所在直线与两圆的公切线垂直. 这里 $\delta=2\pi$. $R_Y$ 是 $Y$ 的 $\frac{\pi}{2}$-网.

注: 之所以取 $R_Y$ 为这样三个点(而不是四个点或其他如即使也是三个点, 但位置不同等等), 这是为了保证上界估计比较小.

注意与 Gromov 书 P.37(2.17 Example 1) 有所区别.

Reference:

M. Gromov,  Metric structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.