问题及解答

$z\in S^3$ 可以表示为 $(re^{i\theta},\rho e^{i\varphi})$, 其中 $r^2+\rho^2=1$. 定义映射 $f:S^3\rightarrow S^3$ 为 $f(z)=(re^{2i\theta},\rho e^{2i\varphi})$.

映射 $f$ 可以看成两个映射的复合: $z\mapsto(re^{2i\theta},\rho e^{i\varphi})$ 和 $z\mapsto(re^{i\theta},\rho e^{2i\varphi})$. 这两个映射的映射度均为2. 于是 $\deg(f)=4$.

此外, 我们有 \[ dz^2=dr^2+r^2 d\theta^2+d\rho^2+\rho^2 d\varphi^2, \] 及 \[ d(f(z))^2=dr^2+4r^2 d\theta^2+d\rho^2+4\rho^2 d\varphi^2\leqslant 4dz^2. \] 因此对每个 $z$ 有 $\text{dil}_z(f)\leqslant 2$. 由于 $S^3$ 是道路度量空间, 可知 $\text{dil}(f)\leqslant 2$. 从而根据问题229推出 $\text{dil}(f)=2$.