问题及解答

两个度量空间 $X,Y$ 之间的 Lipschitz 距离(Lipschitz distance)定义为

\[ d_L(X,Y)=\inf_{f}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\} \]

其中 inf 取遍 $X$ 到 $Y$ 之间的所有双 Lipschitz 同胚映射(bi-Lipschitz homeomorphism). 根据惯例, 如果 $X,Y$ 之间没有双 Lipschitz 同胚映射, 则定义 $d_L(X,Y)=\infty$. 证明 $d_L$

• 是对称的;
• 满足三角不等式;
• $d_L(X,Y)=0$ 当且仅当 $X,Y$ 是等距同构的.

• 对称性根据定义是显然的.
• 注意到Lipschitz映射的复合仍然是Lipschitz映射, 故双Lipschitz同胚的复合仍然是双Lipschitz同胚. 于是对于任三个度量空间 $X,Y,Z$, 满足\[d_L(X,Z)\leqslant d_L(X,Y)+d_L(Y,Z).\]
• 当 $X,Y$ 之间存在等距同构如 $f:X\rightarrow Y$ 时, $\text{dil}(f)=\text{dil}(f^{-1})=1$, 从而 $d_L(X,Y)=0$. 反之, 若 $d_L(X,Y)=0$, 则对任意 $n>0$, 都存在一个双 Lipschitz 同胚 $f_n:X\rightarrow Y$, 使得\[1-\frac{1}{n}\leqslant\text{dil}(f)\leqslant 1+\frac{1}{n}.\] 从而序列 $\{f_n\}$ 是等度连续的, 根据 Arzelà–Ascoli 定理, 它含有一个一致收敛的子序列, 该子序列的极限映射即为所求的等距同构.