度量空间之间的 Lipschitz 距离
两个度量空间 $X,Y$ 之间的 Lipschitz 距离(Lipschitz distance)定义为
\[ d_L(X,Y)=\inf_{f}\{|\log\text{dil}(f)|+|\log\text{dil}(f^{-1})|\} \]其中 inf 取遍 $X$ 到 $Y$ 之间的所有双 Lipschitz 同胚映射(bi-Lipschitz homeomorphism). 根据惯例, 如果 $X,Y$ 之间没有双 Lipschitz 同胚映射, 则定义 $d_L(X,Y)=\infty$. 证明 $d_L$
- 是对称的;
- 满足三角不等式;
- $d_L(X,Y)=0$ 当且仅当 $X,Y$ 是等距同构的.