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趣味数学 >> 数学竞赛
Questions in category: 数学竞赛 (Mathematical Competition).

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1

过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

Posted by haifeng on 2018-07-11 18:32:41 last update 2018-07-11 18:37:38 | Answers (2) | 收藏

过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark:

题目来源:Lei LIU

2

船的静水航行速度、顺水航行速度、逆水航行速度问题

Posted by haifeng on 2018-06-08 08:41:48 last update 2018-06-27 22:38:59 | Answers (2) | 收藏

一条河上有甲乙两个码头。甲在乙的上游50千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲乙两码头同时出发向上游航行。两船的静水航行速度相同,客船出发时有一物品(木头)从船上落入水中,随水流漂浮。10分钟后此物品距离客船5千米。客船在航行20千米后掉头追赶此物品,追上时恰好与货船相遇。求水流速度。

 

要求:不使用方程

 

 

Remark:

题目来源: David(大卫)

3

从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:41:00 last update 2017-11-08 20:41:00 | Answers (1) | 收藏

从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.
 

4

小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:38:13 last update 2017-11-08 20:38:13 | Answers (1) | 收藏

小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?

这里规定当用两条或多条线段接成一条边时, 除断点外, 不许重合.

例如: 边长为 9 的正方形可以用 1+8, 2+7, 3+6, 4+5 摆成. 所以 1,2,3,4,5,6,7,8 就是一种选法.


 

5

用 2, 4, 6 这三个数字构造六位数, 但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中, 问这样的六位数有多少个?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:32:18 last update 2017-11-08 20:38:27 | Answers (1) | 收藏

用 2, 4, 6 这三个数字构造六位数, 但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中, 问这样的六位数有多少个?

6

设 $a,b,c$ 正整数, $a\leqslant b$. 已知 $D(a,b)=4$, $M(a,c)=M(b,c)=108$. 问这样的有序对 $(a,b,c)$ 共有多少组?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:28:52 last update 2017-11-08 20:38:44 | Answers (1) | 收藏

设 $a,b,c$ 正整数, $a\leqslant b$. 已知 $D(a,b)=4$, $M(a,c)=M(b,c)=108$. 问这样的有序对 $(a,b,c)$ 共有多少组?

 

Remark:

这里 $D(a,b)=\mathrm{gcd}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最大公约数.

$M(a,b)=\mathrm{lcm}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数.

7

一个正整数数列 $\{a_n\}$, $a_1=8$, $a_2=1$, 当 $n\geqslant 3$ 时, 满足 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$. 问 $a_{2018}$ 被 105 除的余数是多少?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:16:40 last update 2017-11-08 20:38:53 | Answers (1) | 收藏

一个正整数数列 $\{a_n\}$,  $a_1=8$, $a_2=1$, 当 $n\geqslant 3$ 时, 满足 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$. 问 $a_{2018}$ 被 105 除的余数是多少?
 

8

压缩映像原理(不动点定理)的初步介绍

Posted by haifeng on 2017-04-14 08:38:26 last update 2017-04-14 08:51:53 | Answers (1) | 收藏

设当 $x\in[a,b]$ 时, $f(x)\in[a,b]$. 且 $|f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|$, $0 < k < 1$.

证明: (1) 存在唯一的 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.
         (2) 若 $x_1\in[a,b]$, $x_{n+1}=f(x_n)$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$.

 


Remark:

一般的压缩映像原理请参见问题1107

 

9

“幸运鸡”活动

Posted by haifeng on 2017-04-10 20:04:31 last update 2017-04-10 20:04:31 | Answers (0) | 收藏

有 25 只小鸡参加“幸运鸡”活动. 规定所有小鸡排成一排, 每一轮从排头的小鸡开始按"1,2,3,..." 这样报数, 报完后, 报到平方数的小鸡被淘汰出局, 这样为一轮. 剩下的小鸡又从排头开始按"1,2,3,..." 进行新一轮报数, 然后淘汰报到平方数的小鸡. 如此进行下去, 最后剩下的一只小鸡获得“幸运鸡”称号. 问“幸运鸡”在第一轮报的数是多少?

现在假设有 $n$ 只小鸡参加“幸运鸡”活动, 记 $f(n)$ 为获得“幸运鸡”称号的小鸡在第一轮中的编号(所报的数).

求 $f(2017)$.

讨论 $f(n)$ 的性质.

 

10

从 $1,2,3,\ldots,2017$ 这 2017 个正整数中, 至少任意取出多少个数, 才能保证取出的这些数中, 有一个数是另一个数的两倍?

Posted by haifeng on 2017-04-07 20:30:41 last update 2017-04-07 20:30:41 | Answers (2) | 收藏

从 $1,2,3,\ldots,2017$ 这 2017 个正整数中, 至少任意取出多少个数, 才能保证取出的这些数中, 有一个数是另一个数的两倍?

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