Questions in category: 数学竞赛 (Mathematical Competition)
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1. 已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且 $\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c}$, 证明: $a+b+c=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:40:04 last update 2018-10-04 06:51:49 | Answers (1) | 收藏


已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且

\[
\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},
\]

证明: $a+b+c=0$.

 

 


Remark: 题目由 David Chen 提供.
 

2. 若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:36:21 last update 2018-10-06 10:59:07 | Answers (1) | 收藏


若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

 

 

Remark: 题目由 David Chen 提供.


 

Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?

 

命题: 设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个不全相等的实数, 这里$n\geqslant 3$, 且满足关系式

\[
a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,
\]

\[
k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.
\]

3. 已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:05:13 last update 2018-09-27 00:12:58 | Answers (2) | 收藏


已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

 

 


 

Remark: 题目有 David Chen 提供.

4. 已知 $a,b$ 满足恒等式 $(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)$, 证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.

Posted by haifeng on 2018-08-28 18:30:39 last update 2018-08-28 18:34:48 | Answers (1) | 收藏


已知 $a,b$ 满足恒等式

\[
(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)
\]

证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.
 


 

Remark:

题目来源: David Chen

5. 已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组, 求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

Posted by haifeng on 2018-08-28 18:20:57 last update 2018-08-28 18:20:57 | Answers (2) | 收藏


已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组

\[
\begin{cases}
x+y+z&=1,\\
x^2+y^2+z^2&=2,\\
x^3+y^3+z^3&=3,\\
\end{cases}
\]

求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

 


Remark:

题目来源: David Chen
 

6. 过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

Posted by haifeng on 2018-07-11 18:32:41 last update 2018-07-11 18:37:38 | Answers (2) | 收藏


过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark:

题目来源:Lei LIU

7. 船的静水航行速度、顺水航行速度、逆水航行速度问题

Posted by haifeng on 2018-06-08 08:41:48 last update 2018-06-27 22:38:59 | Answers (2) | 收藏


一条河上有甲乙两个码头。甲在乙的上游50千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲乙两码头同时出发向上游航行。两船的静水航行速度相同,客船出发时有一物品(木头)从船上落入水中,随水流漂浮。10分钟后此物品距离客船5千米。客船在航行20千米后掉头追赶此物品,追上时恰好与货船相遇。求水流速度。

 

要求:不使用方程

 

 

Remark:

题目来源: David(大卫)

8. 从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:41:00 last update 2017-11-08 20:41:00 | Answers (1) | 收藏


从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.
 

9. 小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:38:13 last update 2017-11-08 20:38:13 | Answers (1) | 收藏


小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?

这里规定当用两条或多条线段接成一条边时, 除断点外, 不许重合.

例如: 边长为 9 的正方形可以用 1+8, 2+7, 3+6, 4+5 摆成. 所以 1,2,3,4,5,6,7,8 就是一种选法.


 

10. 用 2, 4, 6 这三个数字构造六位数, 但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中, 问这样的六位数有多少个?

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:32:18 last update 2017-11-08 20:38:27 | Answers (1) | 收藏


用 2, 4, 6 这三个数字构造六位数, 但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中, 问这样的六位数有多少个?

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