Questions in category: 数学竞赛 (Mathematical Competition)
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1. 若 $abc=1$, 求 $\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}$ 的值.

Posted by haifeng on 2024-01-24 17:44:10 last update 2024-01-24 20:07:26 | Answers (2) | 收藏


若 $abc=1$, 求 $\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}$ 的值.

 

 

注:  这道题硬算也是可以的.

2. [CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

Posted by haifeng on 2023-04-09 22:33:32 last update 2023-04-09 22:33:32 | Answers (1) | 收藏


[CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

3. 若 $a,b,c,d,e$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{e}=e+\frac{1}{a}=x$, 求 $x$. 且证明: $abcde+x=0$.

Posted by haifeng on 2023-02-13 15:28:30 last update 2023-02-13 15:51:00 | Answers (1) | 收藏


若 $a,b,c,d,e$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{e}=e+\frac{1}{a}=x$, 求 $x$. 且证明: $abcde+x=0$.

 

 

类似问题: 2170

4. 以142857开头的素数

Posted by haifeng on 2020-05-16 16:07:45 last update 2020-05-16 18:08:06 | Answers (0) | 收藏


设 $x$ 是以 142857 开头的数, 即

\[
x=142857\times 10^k+m
\]

其中正整数 $m$ 是 $k$ 位数.

观察这样的 $m$ 有什么性质.


例如:

1428571
14285717
14285731

这些都是素数。

 

primes start with 142857   isPrime
​1428571 1 Y
​14285717 17 Y
​14285731 31 Y
​14285741 41 Y
​14285749 49 =7*7
​142857107 107 Y
​142857133 133 7*19
​142857151 151 Y
​142857157 157 Y
​142857167 167 Y
​142857173 173 Y
​142857179 179 Y
​142857191 191 Y
​142857271 271 Y
​142857287 287 7*41
​142857289 289 17*17
​142857293 293 Y
​142857317 317 Y
​142857343 343 7*7*7
​142857367 367 Y
​142857373 373 Y
​142857383 383 Y
​142857397 397 Y
​142857401 401 Y
​142857413 413 7*59
​142857427 427 7*61
​142857437 437 19*23
​142857457 457 Y
​142857461 461 Y
142857469 469 7*67

 

5. 设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求 $S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)$ 的值.

Posted by haifeng on 2019-07-17 11:21:27 last update 2019-07-17 11:35:33 | Answers (1) | 收藏


设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求

\[
S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)
\]

的值.


 

事实上, 题目可以改为:

若三个实数 $x,y,z$ 满足

\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},
\]

证明其中两个数互为相反数.

 

试推理之.

6. ITAMO2019第五题

Posted by haifeng on 2019-05-30 13:15:50 last update 2019-05-30 13:19:34 | Answers (0) | 收藏


2019年意大利数学奥林匹克(简称ITAMO)第五题

 

7. 已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且 $\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c}$, 证明: $a+b+c=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:40:04 last update 2018-10-04 06:51:49 | Answers (1) | 收藏


已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且

\[
\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},
\]

证明: $a+b+c=0$.

 

 


Remark: 题目由 David Chen 提供.
 

8. 若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:36:21 last update 2023-02-13 15:56:50 | Answers (1) | 收藏


若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

 

 

Remark: 题目由 David Chen 提供.

类似问题: 3073


 

Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?

 

命题: 设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个不全相等的实数, 这里$n\geqslant 3$, 且满足关系式

\[
a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,
\]

\[
k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.
\]

9. 已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:05:13 last update 2018-09-27 00:12:58 | Answers (2) | 收藏


已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

 

 


 

Remark: 题目有 David Chen 提供.

10. 已知 $a,b$ 满足恒等式 $(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)$, 证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.

Posted by haifeng on 2018-08-28 18:30:39 last update 2018-08-28 18:34:48 | Answers (2) | 收藏


已知 $a,b$ 满足恒等式

\[
(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)
\]

证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.
 


 

Remark:

题目来源: David Chen

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