设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求
\[
S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)
\]
的值.
事实上, 题目可以改为:
若三个实数 $x,y,z$ 满足
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},
\]
证明其中两个数互为相反数.
试推理之.
1
根据题设, $x,y,z$ 均不为零. 对所求式子两边乘以 $\frac{1}{xyz}$, 得
\[
\begin{split}
\frac{1}{xyz}S&=(1-\frac{2019}{x})(1-\frac{2019}{y})(1-\frac{2019}{z})\\
&=(1-\frac{2019}{y}-\frac{2019}{x}+\frac{2019^2}{xy})(1-\frac{2019}{z})\\
&=1-\frac{2019}{y}-\frac{2019}{x}+\frac{2019^2}{xy}-\frac{2019}{z}+\frac{2019^2}{yz}+\frac{2019^2}{xz}-\frac{2019^3}{xyz}\\
&=1-2019(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+2019^2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})-\frac{2019^3}{xyz}\\
&=1-2019\times\frac{1}{2019}+2019^2\cdot\frac{z+x+y}{xyz}-\frac{2019^3}{xyz}\\
&=1-1+2019^2\cdot\frac{x+y+z-2019}{xyz}\\
&=0.
\end{split}
\]
这推出 $S=0$. 于是 $x,y,z$ 中至少有一个数是 2019, 另两个数互为(非零的)相反数.
进一步地, 将 2019 更改为其他非零实数, 上面总有 $S=0$. 也就是说, 题目可以改为
若三个实数 $x,y,z$ 满足
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},
\]
证明其中两个数互为相反数.