在 (*) 式中令 $x=-1$, $y$ 写为 $x$, 得
\[g(-1+x)+g(-1-x)=g(-1)f(x).\tag{*2}\]
我们证明 $g(-1)=0$, 从而 $g(-1+x)=-g(-1-x)$ 成立.
Claim 1. $g(1)f(1)=2$.
Pf. 在 (*) 式中, 令 $y=x$, 得
\[
g(x+x)+g(x-x)=g(x)f(x).
\]
这推出 $g(2x)+g(0)=g(x)f(x)$. 特别地, 令 $x=1$, 得 $g(2)+g(0)=g(1)f(1)$. 即 $g(1)f(1)=1+1=2$. 因此 $f(1)\neq 0$.
Claim 2. $g(-1)=0$.
Pf. 在 (*) 式中, 令 $x=0$, $y=2$, 得
\[
g(0+2)+g(0-2)=g(0)f(2).
\]
这推出 $g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0$, 故 $g(-2)=-g(2)=-1$.
在 (*2) 式中, 令 $x=1$ 得
\[
g(-1+1)+g(-1-1)=g(-1)f(1).
\]
这推出 $g(-1)f(1)=g(0)+g(-2)=1+(-1)=0$. 而由 Claim 1, $f(1)\neq 0$, 故 $g(-1)=0$.
Claim 3. $f(1)=g(1)=\sqrt{2}$.
Pf. $f(x)=g(x)+g(-x)$, 故 $f(1)=g(1)+g(-1)=g(1)+0=g(1)$. 再由 Claim 1, $g(1)f(1)=2$, 知结论成立.