若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.
Remark: 题目由 David Chen 提供.
类似问题: 3073
Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?
命题: 设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个不全相等的实数, 这里$n\geqslant 3$, 且满足关系式
\[
a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,
\]
则
\[
k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.
\]
1
根据题设
\[
\begin{aligned}
a&=k-\frac{1}{b},\\
b&=k-\frac{1}{c},\\
\frac{1}{a}&=k-c
\end{aligned}
\]
这推出
\[
\begin{aligned}
a&=k-\frac{1}{k-\frac{1}{c}}\\
a&=\frac{1}{k-c}
\end{aligned}
\]
于是, 我们有
\[
\frac{1}{k-c}=k-\frac{c}{kc-1}\\
\]
化简
\[
\begin{split}
&kc-1=(k-c)\Bigl(k(kc-1)-c\Big)\\
\Rightarrow& kc-1=k^2(kc-1)-kc-kc(kc-1)+c^2\\
\Rightarrow& kc-1=k^3 c-k^2-kc-k^2c^2+kc+c^2\\
\Rightarrow& (k^2-1)c^2-k(k^2-1)c+(k^2-1)=0\\
\Rightarrow& (k^2-1)\Bigl(c^2-kc+1\Bigr)=0
\end{split}
\]
因此, $k^2=1$ 或者 $c^2-kc+1=0$.
若 $c^2-kc+1=0$, 则 $c^2=kc-1$, 由 $b=k-\frac{1}{c}$ 得 $bc=kc-1$, 于是 $c^2=bc$, 而 $c\neq 0$, 故 $b=c$. 再由 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}$ 推出 $a=b$. 因此 $a=b=c$. 但是这与题设 $a,b,c$ 不全相等矛盾.
因此, $k^2=1$. 当 $k=1$ 时,
由于 $b+\frac{1}{c}=k$, 故 $bc=kc-1=c-1$. 从而
\[
abc+k=abc+1=a(bc+\frac{1}{a})=a(c-1+\frac{1}{a})=0,
\]
最后一个等号是因为 $\frac{1}{a}=k-c=1-c$.
当 $k=-1$ 时, 类似证明 $abc+k=abc-1=0$.