已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且
\[
\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},
\]
证明: $a+b+c=0$.
Remark: 题目由 David Chen 提供.
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由题设
\[
\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}y=\frac{c}{b}x+\frac{a}{b}y=\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}y.
\]
这等价于下面的方程组 (*), 这里我们将 $x,y$ 视为未知量:
\[
\begin{cases}
(\frac{b}{a}-\frac{c}{b})x+(\frac{c}{a}-\frac{a}{b})y=0,\\
(\frac{c}{b}-\frac{a}{c})x+(\frac{a}{b}-\frac{b}{c})y=0.\\
\end{cases}
\]
根据条件, 此线性方程组 (*) 有非零解, 因此其系数矩阵的行列式为零. 即
\[
\begin{vmatrix}
\frac{b}{a}-\frac{c}{b} & \frac{c}{a}-\frac{a}{b}\\
\frac{c}{b}-\frac{a}{c} & \frac{a}{b}-\frac{b}{c}
\end{vmatrix}=0.
\]
这推出
\[
(\frac{b}{a}-\frac{c}{b})(\frac{a}{b}-\frac{b}{c})-(\frac{c}{a}-\frac{a}{b})(\frac{c}{b}-\frac{a}{c})=0
\]
化简
\[
\begin{split}
\Rightarrow &1-\frac{b^2}{ac}-\frac{ac}{b^2}+1-\biggl[\frac{c^2}{ab}-1-\frac{ac}{b^2}+\frac{a^2}{bc}\biggr]=0\\
\Rightarrow & 3-\frac{b^2}{ac}-\frac{c^2}{ab}-\frac{a^2}{bc}=0\\
\Rightarrow & a^3+b^3+c^3-3abc=0.
\end{split}
\]
上面这个是非常熟悉的式子, 左边可以因式分解 (参见 问题2172 ).
\[
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\]
我们注意到
\[
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=c^2-(a+b)c+(a^2+b^2-ab),
\]
将其看成关于 $c$ 的二次多项式, 则
\[
\Delta=[-(a+b)]^2-4(a^2+b^2-ab)=-3(a^2-2ab+b^2)=-3(a-b)^2\leqslant 0.
\]
由题设 $a,b,c$ 互不相等, 因此上面的 $\Delta < 0$, 故 $c^2-(a+b)c+(a^2+b^2-ab) > 0$.
因此, 推出 $a+b+c=0$.