已知 $a,b$ 满足恒等式

\[
(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)
\]

证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.
 

Remark:

题目来源: David Chen

已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组

\[
\begin{cases}
x+y+z&=1,\\
x^2+y^2+z^2&=2,\\
x^3+y^3+z^3&=3,\\
\end{cases}
\]

求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

Remark:

题目来源: David Chen
 

过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

Remark:

题目来源：Lei LIU

一条河上有甲乙两个码头。甲在乙的上游50千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲乙两码头同时出发向上游航行。两船的静水航行速度相同，客船出发时有一物品(木头)从船上落入水中，随水流漂浮。10分钟后此物品距离客船5千米。客船在航行20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好与货船相遇。求水流速度。

要求：不使用方程

Remark:

题目来源: David(大卫)

从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.
 

小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?

这里规定当用两条或多条线段接成一条边时, 除断点外, 不许重合.

例如: 边长为 9 的正方形可以用 1+8, 2+7, 3+6, 4+5 摆成. 所以 1,2,3,4,5,6,7,8 就是一种选法.

用 2, 4, 6 这三个数字构造六位数, 但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中, 问这样的六位数有多少个?

设 $a,b,c$ 正整数, $a\leqslant b$. 已知 $D(a,b)=4$, $M(a,c)=M(b,c)=108$. 问这样的有序对 $(a,b,c)$ 共有多少组?

Remark:

这里 $D(a,b)=\mathrm{gcd}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最大公约数.

$M(a,b)=\mathrm{lcm}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数.

一个正整数数列 $\{a_n\}$,  $a_1=8$, $a_2=1$, 当 $n\geqslant 3$ 时, 满足 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$. 问 $a_{2018}$ 被 105 除的余数是多少？
 

设当 $x\in[a,b]$ 时, $f(x)\in[a,b]$. 且 $|f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|$, $0 < k < 1$.

证明: (1) 存在唯一的 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.
         (2) 若 $x_1\in[a,b]$, $x_{n+1}=f(x_n)$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$.

Remark:

一般的压缩映像原理请参见问题1107