问题及解答

已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组

\[
\begin{cases}
x+y+z&=1,\\
x^2+y^2+z^2&=2,\\
x^3+y^3+z^3&=3,\\
\end{cases}
\]

求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

Remark:

题目来源: David Chen
 

由 $x+y+z=1$, 我们有 $(x+y+z)^2=1$. 展开得 $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1$. 又 $x^2+y^2+z^2=2$, 可得

\[xy+yz+zx=-\frac{1}{2}.\tag{1}\]

将 (1) 两边平方, 得

\[
\begin{split}
& x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)=\frac{1}{4}\\
\Longrightarrow\ &x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)=\frac{1}{4}\\
\Longrightarrow\ &x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz=\frac{1}{4}, \\
\end{split}\tag{2}
\]

下面我们求出 $xyz$, 从而由 (2) 解得 $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$, 进而可得 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

对 $x^2+y^2+z^2=2$ 两边分别乘以 $x,y,z$, 得

\[
\begin{aligned}
x^3+xy^2+xz^2=2x,\\
x^2y+y^3+yz^2=2y,\\
x^2z+y^2z+z^3=2z.
\end{aligned}
\]

将此三式相加, 得

\[
x^3+y^3+z^3+(x^2y+xy^2)+(x^2z+xz^2)+(y^2z+yz^2)=2(x+y+z).
\]

化简,

\[
\begin{split}
\Longrightarrow\ 3+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)=2\\
\Longrightarrow\ 3+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x)=2\\
\Longrightarrow\ 1+(xy+yz+zx)-3xyz=0.
\end{split}
\]

将 (1) 代入, 得

\[
1+(-\frac{1}{2})-3xyz=0\Longrightarrow xyz=\frac{1}{6}\tag{3}
\]

将 (3) 代入 (2), 得

\[
x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=-\frac{1}{12},
\]

可见 $x,y,z$ 中有一对共轭复数.

最后,

\[
\begin{split}
x^4+y^4+z^4&=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)\\
&=2^2-2\cdot(-\frac{1}{12})\\
&=\frac{25}{6}.
\end{split}
\]

(此解答由 David Chen 提供, 并指出 $x,y,z$ 的解非常复杂.)

根据所给条件, 得

\[
\begin{cases}
x+y&=1-z,\\
x^2+y^2&=2-z^2,\\
x^3+y^3&=3-z^3.
\end{cases}
\]

因此, 有

\[
\begin{split}
&(1-z)^2=(x+y)(x+y)=x^2+y^2+2xy=2-z^2+2xy\\
\Longrightarrow\ &xy=z^2-z-\frac{1}{2},
\end{split}\tag{1}
\]

\[
\begin{split}
&(2-z^2)(1-z)=(x^2+y^2)(x+y)=x^3+y^3+xy(x+y)=3-z^3+xy(1-z)\\
\Longrightarrow\ &(1-z)xy=2z^3-z^2-2z-1,
\end{split}\tag{2}
\]

\[
(3-z^3)(1-z)=(x^3+y^3)(x+y)=x^4+y^4+xy(x^2+y^2)=x^4+y^4+xy(2-z^2)
\]

\[
\begin{split}
\Longrightarrow\ x^4+y^4&=(3-z^3)(1-z)-xy(2-z^2)\\
&=z^4-z^3-3z+3-xy-xy(1-z)(1+z)\\
&=z^4-z^3-3z+3-(z^2-z-\frac{1}{2})-(1+z)(2z^3-z^2-2z-1)\\
&=-z^4-2z^3+2z^2+z+\frac{9}{2},
\end{split}
\]

即

\[
x^4+y^4+z^4=-2z^3+2z^2+z+\frac{9}{2},\tag{3}
\]

根据 (1) 和 (2), 得

\[
(1-z)(z^2-z-\frac{1}{2})=2z^3-z^2-2z-1,
\]

化简得

\[
z^3-z^2-\frac{1}{2}z=\frac{1}{6}
\]

将其代入 (3), 得

\[
x^4+y^4+z^4=-2(z^3-z^2-\frac{1}{2}z)+\frac{9}{2}=-2\cdot\frac{1}{6}+\frac{9}{2}=\frac{25}{6}.
\]