问题及解答

已知 $a,b$ 满足恒等式

\[
(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)
\]

证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.
 

Remark:

题目来源: David Chen

令 $A=ab-\frac{a+b}{2}$, $B=\frac{a+b}{2}-1$. 则 $ab-1=A+B$. 从而原式化为

\[
(A+B)^2=2A\cdot 2B\quad\Longrightarrow\quad (A-B)^2=0
\]

因此 $A=B$. 即

\[
ab-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}-1.
\]

这推出

\[
ab+1=a+b\Rightarrow ab-a-b+1=0\Rightarrow (a-1)(b-1)=0
\]

因此 $a=1$ 或 $b=1$.
 

Q. 怎么想到上面的方法的?

A. $(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)\geqslant 0$, 故 $(a+b-2ab)(a+b-2)\leqslant 0$. 如果记 $x=a+b$, $m=ab$, 则不等式变为

\[
(x-2m)(x-2)\leqslant 0.
\]

如果 $m < 1$, 则推出 $2m < x < 2$, 即 $ab < \frac{a+b}{2} < 1$.

 对于 $ab=1$ 及 $ab=0$ 这些特殊情况, 很容易验证.