小明手中有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10厘米小棒各根, 他想从中选出若干根摆成一个正方形. 请你帮他计算一下共有多少种不同的选法?
这里规定当用两条或多条线段接成一条边时, 除断点外, 不许重合.
例如: 边长为 9 的正方形可以用 1+8, 2+7, 3+6, 4+5 摆成. 所以 1,2,3,4,5,6,7,8 就是一种选法.
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设 $d$ 是要摆的正方形之边长. 如果 $a+b=d$, 则我们用 $(a,b)$ 表示这条边.
(1) 若 $d\leqslant 6$, 则无法构建正方形.
比如当 $d=6$ 时, 正方形的边只有这样的建构方式: $(6), (1,5), (2,4)$ 还有 $(1,2,3)$. 无法组成正方形.
(2) 若 $d\geqslant 14$, 则也是类似的原因无法构建正方形.
比如当 $d=14$ 时, 正方形的边只有这样的建构方式: $(4,10), (5,9), (6,8)$ 以及 $(1,4,9), (3,5,6)$ 等.
(3) $d=10$ 时,
建构方式为: $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (10)$. 因此有 $C_5^4$ 种.
另外: $(1,4,5), (2,8), (3,7), (10)$ 和 $(2,3,5), (1,9), (4,6), (10)$ 也可以构建正方形.
(4) $d=9$ 时,
建构方式为: $(1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (9)$. 因此有 $C_5^4$ 种.
(5) $d=8$ 时,
建构方式为: $(1,7), (2,6), (3,5), (8)$.
(6) $d=7$ 时,
建构方式为: $(1,6), (2,5), (3,4), (7)$.
(7) $d=11$ 时,
建构方式为: $(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)$. 因此有 $C_5^4$ 种.
(8) $d=12$ 时,
建构方式为: $(2,10), (3,9), (4,8), (5,7)$, 这里 $(5,7)$ 可以换为 $(5,1,6)$. 所以有 2 种.
(9) $d=13$ 时,
建构方式为: $(3,10), (4,9), (5,8), (6,7)$, 其中 $(3,10)$ 可以换为 $(1,2,10)$. 因此也有 2 种.
综上, 总共有 $3\cdot C_5^4+1\times 4+2\times 2=23$ 种组合.