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趣味数学
Questions in category: 趣味数学 (Recreational Mathematics).

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1

将数字 $1,2,3,\ldots,12$ 填入下面的表格, 使得每行、每列以及每个田字格内的四个数字之和都相等.

Posted by haifeng on 2018-04-13 02:04:53 last update 2018-04-13 02:19:29 | Answers (1) | 收藏

将数字 $1,2,3,\ldots,12$ 填入下面的表格, 使得每行、每列以及每个田字格内的四个数字之和都相等.  (Note: 这里的行和列也指包含四个数字的行和列.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark:

这是小学四年级的题目. (From 江苏课本练习某难题)

题目来源:张影老师.

 

2

设 $A$ 是由正整数 $\{1,2,3,...,16\}$ 构成的 $4\times 4$ 矩阵. 对矩阵只能进行行平移和列平移操作.

Posted by haifeng on 2018-01-29 20:12:48 last update 2018-01-29 20:12:48 | Answers (0) | 收藏

设 $A$ 是由正整数 $\{1,2,3,...,16\}$ 构成的 $4\times 4$ 矩阵. 对矩阵只能进行行平移和列平移操作. 具体如下:

\[
(a_1,a_2,a_3,a_4)\mapsto(a_2,a_3,a_4,a_1)
\]
 

\[
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
b_4\\
\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}
b_2\\
b_3\\
b_4\\
b_1\\
\end{pmatrix}
\]

现在,第一步,从矩阵中删去元素 1.

然后,在行平移和列平移的过程中,如果两个相邻的数 $a$ 和 $b$, 若满足 $a|b$, 则删去 $b$.

问:

(1)是否最后一定能得到 $1,2,3,\ldots,16$ 中的素数集 $\{2,3,5,7,11,13\}$ ?

(2)最少需要经过多少步骤?最多的步骤是多少?

(3)一般的对于 $n$ 阶方阵,是否也有相应的结论?

 


请编程尝试,然后从理论上解决此问题。

 

3

将0,1,2,...,9这十个数字填到下面的方框中, 使得算式成立.

Posted by haifeng on 2017-05-15 08:45:18 last update 2017-05-26 13:24:11 | Answers (1) | 收藏

将0,1,2,...,9这十个数字填到下面的方框中, 使得算式成立.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注: 这里我们认为四位数的千位可以是 0.

证明: (1) 四位数的千位只能是 0 或 1;
(2) 0 只能出现在四位数中.
(3) 能否证明四位数的最后一位不是 0?

请编写一个程序, 计算所有可能的解. 并进一步改进你的算法.

4

2187 和 286

Posted by haifeng on 2016-08-31 09:56:25 last update 2016-08-31 13:31:58 | Answers (0) | 收藏

\[
\begin{aligned}
7+1&=8,\\
-3+12&=09,\\
187+123&=310,\\
2187+1234&=3421,\\
2187+12345&=14532,\\
2187+123456&=125643,\\
2187+1234567&=1236754,\\
2187+12345678&=12347865,\\
2187+123456789&=123458976,\\
1197+1234567890&=1234569087,\\
-8703+12345678901&=12345670198,\\
-7803+123456789012&=123456781209,\\
2187+1234567890123&=1234567892310,\\
2187+12345678901234&=12345678903421,\\
\end{aligned}
\]

 


如果我们从 $6+1=7$ 开始

\[
\begin{split}
6+1&=7,\\
-4+12&=08,\\
296+123&=419,\\
286+1234&=1520,\\
286+12345&=12631,\\
286+123456&=123742,\\
286+1234567&=1234853,\\
286+12345678&=12345964,\\
-714+123456789&=123456075,\\
-704+1234567890&=1234567186,\\
-604+12345678901&=12345678297,\\
296+123456789012&=123456789308,\\
296+1234567890123&=1234567890419,\\
286+12345678901234&=12345678901520,\\
\end{split}
\]

5

有五个圆圈, 排成一排,相邻两个有交集. 在其中填 1-9 九个数字, 使得每个圆圈中的数字之和相等.

Posted by haifeng on 2016-01-27 18:36:46 last update 2016-01-27 18:38:45 | Answers (0) | 收藏

设依次为 [a, (b] c, [d), e, (f], g, [h), i]

首先 a, i>=3. 若 a=c+d 为 3=1+2,  则 i必须是9. 且9=4+5.
但是这推不出解。因此,首尾的数 a 和 i 都大于 3. 

确定 a 和 i 的取值范围后,就变成了三元未定方程组了。整个可以用编程实现。

 

根据问题我们得到
    a=c+d
b+c=e+f
d+e=g+h
f+g=i

 

注意如果确定了 a 和 i. 那么, 中间两个方程可以认为是同等地位的.

比如选择 a=3, 于是确定 i=9. (可以使用子程序确定)

于是方程组变为
   3=2+1
b+c=e+f
d+e=g+h
4+5=9

因此不妨设 f=4, g=5.  于是对于 (c,d)=(1,2) or (2,1) 代入, 将将剩余的数字代入检验是否是解。


比如下面是其中一个解.

9(4)1(8)3(2)5(6)7

6

计算 $2^{25}+1$

Posted by haifeng on 2016-01-13 02:00:39 last update 2016-01-13 02:01:25 | Answers (0) | 收藏

\[
2^{25}+1=33554433=3 \times 11 \times 251 \times 4051.
\]

非常好记.

7

$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

Posted by haifeng on 2015-12-28 00:49:01 last update 2015-12-28 01:28:00 | Answers (0) | 收藏

\[3^3+4^4+3^3+5^5=3435.\]

请问还有这样的数吗?

\[
x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+x_3^{x_3}+x_4^{x_4}=x_1 x_2 x_3 x_4,
\]

或更一般的, 满足下面的等式

\[
x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+x_3^{x_3}+\cdots+x_n^{x_n}=x_1 x_2 x_3 \ldots x_n.
\]

这里 $x_i$ 均为 $0,1,2,\ldots,9$ 数字之一.

举个例子 $438,579,088$ 满足条件.

\[
4^4+3^3+8^8+5^5+7^7+9^9+0+8^8+8^8=438579088
\]

这里 $0^0$ 由于没有意义, 故当某个数字是 0 时, 不加入计算或者 $0^0$ 算作 0.

8

神奇的 6174

Posted by haifeng on 2015-12-28 00:22:00 last update 2015-12-28 00:40:49 | Answers (1) | 收藏

设 $M=d_4 d_3 d_2 d_1$, 这里 $d_4\geqslant d_3\geqslant d_2\geqslant d_1$, 令 $N=d_1 d_2 d_3 d_4$. 假设 $M > N$.

计算 $T=M-N$. 并将 $T$ 的各个数字仍按照从大到小排列. 重新得到 $M_2=d_4^{(2)} d_3^{(2)} d_2^{(2)} d_1^{(2)}$, 仍简记为 $M_2=d_4 d_3 d_2 d_1$. 

试证: 经过有限步后得到 $T=6174$.


值得注意的是对于 $T=6174$, 将其数字进行排序得 $M=7641$, 于是 $N=1467$, 相减得 $T=7641-1467=6174$.

 

Note:

6174+4716=10890,

1089+9801=10890.

9

What is the largest number $n$ for which the sum of digits is not smaller than $n/2$?

Posted by haifeng on 2015-11-22 02:29:28 last update 2015-11-22 02:30:07 | Answers (0) | 收藏

What is the largest number $n$ for which the sum of digits is not smaller than $n/2$. [Capelle]

 

Answer: 19

10

规则之推测

Posted by haifeng on 2015-08-31 16:48:36 last update 2015-08-31 16:48:36 | Answers (1) | 收藏

如果

\[
\begin{aligned}
6+4&=210,\\
9+2&=711,\\
8+5&=313,\\
5+2&=37,\\
\end{aligned}
\]

请问 $7+6=?$

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