问题及解答

某小组共有11个组员, 代号分别是 A,B,C,...,K. 这些人分为两派, 一派人总说实话, 另一派人总说谎话. 有人问他们: "你们11个人当中, 总说谎话的共有几人?"

共有 9 人回答了这个问题. 以下分别是他们的回答,

请问这11个人中, 说真话的有几人? 分别是谁?

Remark:

此题由 Qunying Zhang 提供

记 $X$ 是说真话的人的集合,  $Y$ 是说谎话的人的集合. $x,y$ 分别是集合 $X,Y$ 所含元素的个数.

Steps:

(1) 若 $A\in X$, 则 $x=1$, 从而 $F\in Y$, 但此时 F 说了真话, 矛盾. 换句话说, $A,F$ 同属于一个集合. 显然 $A,F\in Y$.

(2) 若 $C\in X$, 则说真话的人数为 0, 这与 $C\in X$ 矛盾. 因此 $C\in Y$.

(3) 若 $D,I\in X$, 则说假话的只有 4 人, 此时 $Y$ 中已有 $A,F,C$. 但显然剩余的 B, E, G,H (分别说 7,6,5,6 是说假话的人数) 说谎的不止一个, 因此 $D,I\in Y$.

(4) 假设 $G\in X$, 由于此时已判断有 $\{A,F,C,D,I\}\subset Y$. 那么剩余的都应该属于 $X$. 比如 $H\in X$, 而 H 回答说假话的有6人, 矛盾. 因此 $G\in Y$.

(5) 假设 $E, H\in X$, 他们认为说假话的有6人, 此时已经判断有 $\{A,F,C,D,I,G\}\subset Y$, 即 $y\geqslant 6$. 于是其余所有人都应属于 $X$. 但是 B 回答说假话的人数是 7 人, 矛盾. 因此 $E,H\in Y$.

(6) 假设 $B\in X$, 而此时我们有 $\{A,F,C,D,I,G,E,H\}\subset Y$, 即 $y\geqslant 8$. 因此 $B$ 也是说假话的.

(7) 此时我们已经判断有 $\{A,F,C,D,I,G,E,H,B\}\subset Y$, 即 $y\geqslant 9$. 剩下的两人 $J,K$ 没有回答问题. 假设他们两人中至少有一个人说假话, 那么 $A$ 或 $C$ 应该属于 $X$, 矛盾. 因此 $J,k$ 都是说真话的人.

总结: 说真话的只有两个人, 他们是 J 和 K.