\[3^3+4^4+3^3+5^5=3435.\]

请问还有这样的数吗?

\[
x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+x_3^{x_3}+x_4^{x_4}=x_1 x_2 x_3 x_4,
\]

或更一般的, 满足下面的等式

\[
x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+x_3^{x_3}+\cdots+x_n^{x_n}=x_1 x_2 x_3 \ldots x_n.
\]

这里 $x_i$ 均为 $0,1,2,\ldots,9$ 数字之一.

举个例子 $438,579,088$ 满足条件.

\[
4^4+3^3+8^8+5^5+7^7+9^9+0+8^8+8^8=438579088
\]

这里 $0^0$ 由于没有意义, 故当某个数字是 0 时, 不加入计算或者 $0^0$ 算作 0.

设 $M=d_4 d_3 d_2 d_1$, 这里 $d_4\geqslant d_3\geqslant d_2\geqslant d_1$, 令 $N=d_1 d_2 d_3 d_4$. 假设 $M > N$.

计算 $T=M-N$. 并将 $T$ 的各个数字仍按照从大到小排列. 重新得到 $M_2=d_4^{(2)} d_3^{(2)} d_2^{(2)} d_1^{(2)}$, 仍简记为 $M_2=d_4 d_3 d_2 d_1$. 

试证: 经过有限步后得到 $T=6174$.

值得注意的是对于 $T=6174$, 将其数字进行排序得 $M=7641$, 于是 $N=1467$, 相减得 $T=7641-1467=6174$.

Note:

6174+4716=10890,

1089+9801=10890.

What is the largest number $n$ for which the sum of digits is not smaller than $n/2$. [Capelle]

Answer: 19

如果

\[
\begin{aligned}
6+4&=210,\\
9+2&=711,\\
8+5&=313,\\
5+2&=37,\\
\end{aligned}
\]

请问 $7+6=?$

1089=4，
1863=3，
7452=0，
3411=0，
5808=5，
7892=3，
1111=0，
6502=2.

请问 3896=？

不要使用大人的思维，应该从幼儿的角度去观察，哪些对他们最有吸引力。

1。4=10

2。5=14

6。10=40

9。11=30

问 1。10=？

Remark: 这里的 。表示某种运算

\[\frac{355}{113}=3.14159292035...\]

3.1415929203539823008849557522123893805309734513274336283185840707964601769911504424778761061946902655

一个多面体, 其表面由三角形和八边形构成.

• 每个三角形被三个八边形包围,
• 每个八边形周围有四个三角形,

请问这个多面体有多少个顶点? 多少条棱? 多少个面?

请画出它们的图形.

平面上的点用三种颜色去涂. 证明: 任意给定 $d > 0$, 存在相距为 $d$ 的两点, 它们的颜色相同.

• 142857*1 = 142857
• 142857*2 = 285714
• 142857*3 = 428571
• 142857*4 = 571428
• 142857*5 = 714285
• 142857*6 = 857142
• 142857*7 = 999999
• 142857*8 = 1142856
• 142857*9 = 1285713

1429 is a prime

1428571429 is a prime

1428571428571429 is a prime

10003==7*1429

10000000003==7*1428571429

10000000000000003==7*1428571428571429

这里 1428571428571429 是素数

1428571==1428571

14285717==14285717

---------------------------

142857/1429=

out> 99.96

990902729181245626312106368089573128061581525542337298810356892932120363890832750174947515745276417074877536738978306508047585724282715185444366689993002099370188943317004898530440867739678096571028691392582225332400279916025192442267319804058782365290412876137158852344296710986703988803358992302309307207837648705388383484954513645906228131560531840447865640307907627711686494051784464660601819454163750874737578726382085374387683694891532540237928621413575927221833449965010496850944716585024492652204338698390482855143456962911126662001399580125962211336599020293911826452064380685794261721483554933519944016794961511546536039188243526941917424772568229531140657802659202239328201539538138558432470258922323303009097270818754373687893631910426871938418474457662701189643107067879636109167249825052484254723582925122463261021693491952414275717284814555633310006997900629811056682995101469559132260321903428971308607417774667599720083974807557732680195941217634709587123862841147655703289013296011196641007697690692792162351294611616515045486354093771868439468159552134359692092372288313505948215535339398180545836249125262421273617914625612316305108467459762071378586424072778166550034989503149055283414975507347795661301609517144856543037088873337998600419874037788663400979706088173547935619314205738278516445066480055983205038488453463960811756473058082575227431770468859342197340797760671798460461861441567529741077676696

...

上面 9909...6696 是长度为1428的循环节.

>> 142857/7
in> 142857/7

out> 20408.142857142857142857142857142857142857...

>> 142857/7/3
in> 142857/7/3

out> 6802.7142857142857142857142857142857...

Updated on 2019

1429142857 is a prime

14291428571428571429 may be a prime.
We use Miller-Rabin algorithm to check it.
14291428571428571429 is prime with probability 99.9999999999999999999999999999211139095%

Updated on 2020-05-16