问题及解答

平面上的点用三种颜色去涂. 证明: 任意给定 $d > 0$, 存在相距为 $d$ 的两点, 它们的颜色相同.

不妨设 $d=1$ (根据下面的证明, 我们会看到这跟 $d$ 具体为多少没有关系.)

我们用反证法. 假设任意相距为 $1$ 的两点颜色不同. 我们用 $0,1,2$ 表示这三种颜色. 则任取 $P\in\mathbb{R}^2$, 作正三角形 $PAB$. 不妨设 $P,A,B$ 三点的颜色分别为 $0,1,2$. 则与 $A,B$ 相距为 1 的还有一点 $C$(不同于 $P$) 颜色只能与 $P$ 相同.

过点 $P$ 作任意这样的正三角形, 可以想象为将上面的正三角形 $PAB$ 绕 $P$ 旋转一周. 则以 $P$ 为中心, $\sqrt{3}$ 为半径的圆上的点的颜色均与 $P$ 一致. 从而圆周上当然存在相距为 1, 且颜色相同的两点. 矛盾.