压缩映射原理
压缩映射原理对于构造线性方程和非线性方程的解很有用.
【定义】设 $(X,d)$ 是一个度量空间, 映射 $T:\ X\rightarrow X$ 称为是(严格)压缩映射(contraction mapping, or contraction), 若存在一个常数 $c$, $(0\leq c < 1)$, 使得
\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y)
\]
对所有 $x,y\in X$ 成立.
Thm. 设 $\bar{B}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球. 且 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是严格压缩映射. 则 $T$ 存在惟一的不动点. 即存在惟一一点 $x\in\bar{B}^n$, 使得 $T(x)=x$.
Remark:
这个定理可以推广到一般的度量空间.
Thm. 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T$ 是 $(X,\rho)$ 到其自身的一个(严格)压缩映射, 则 $T$ 在 $X$ 上存在惟一的不动点.
一般来说, 要得到不动点的存在性和惟一性, 我们得要求映射是严格压缩映射. 比如, $X=\{0,1\}$ 是离散度量空间, 度量定义为 $d(0,1)=1$. 令 $T(0)=1$, $T(1)=0$, 则 $T$ 是非严格压缩映射, 但不存在不动点. 若令 $T$ 是恒同映射, 则每一点都是不动点.
压缩映射定理是特殊的不动点定理.
值得注意的是, 某些情况下, 如果压缩映射中常数 $c$ 放宽至 $0\leq c\leq 1$ , 也可推出存在不动点, 但惟一性不成立. （此时也称这样的映射为压缩映射，而将 $c < 1$ 的映射称为严格压缩映射.）
比如:
Claim: 设 $K$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致凸子集, $T:\ K\rightarrow K$ 满足
\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y),\quad\forall\ x,y\in B.
\]
这里 $c\in [0,1]$. 则 $T$ 也存在不动点.
如果要存在不动点, 更一般的, 映射只要求连续就可以了, 在拓扑学中有这样的定理.
Brouwer 不动点定理: 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球 $\bar{B}^n$, 只要 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是连续映射, 则 $T$ 必有不动点 $x\in\bar{B}^n$.
Brouwer 不动点定理是针对有限维空间的，可以将它推广到无穷维空间的情形，这就是 Schauder 不动点定理.
Schauder 不动点定理: 设 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 连续且 $T(C)$ 列紧, 则 $T$ 在 $C$ 上必有一个不动点.
Schauder 不动点定理的一个推论讲的是:
若 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个有界闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 是紧的, 则 $T$ 在 $C$ 上必有不动点.
因此, 上面的 Claim 可以作为该推论在有限维欧氏空间时的特殊情形.