Questions in category: 实分析 (Real Analysis)
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1. Vitali 集

Posted by haifeng on 2014-03-08 15:06:12 last update 2014-03-08 15:41:49 | Answers (0) | 收藏


Vitali 集指 $[0,1]$ 的一个子集 $V$, 每个实数 $r\in\mathbb{R}$ 对应到 $V$ 中的一个数 $v$, 满足 $v-r\in\mathbb{Q}$.

也就是说, 如果在 $\mathbb{R}$ 上定义一个等价关系: $a\sim b\Leftrightarrow a-b\in\mathbb{Q}$. 然后将每个等价类取一个代表元出来构成的集合, 就称为 Vitali 集合.

从商群的角度. $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个加法子群. 因此可构造加法商群 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$.

\[\mathbb{R}/\mathbb{Q}=\{\mathbb{Q}+r\mid r\in\mathbb{R}\}.\]

每个集合 $\mathbb{Q}+r$ 与 $[0,1]$ 相交非空. 且 $\bigcup_{r\in\mathbb{R}}\mathbb{Q}+r=\mathbb{R}$. 因此根据选择公理, 存在 $[0,1]$ 中的一个子集, 记作 $V$, 它恰好包含 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 中每个元素的代表元. 因此 Vitali 集是存在的. (但其存在性是基于选择公理.)

Thm(Vitali 定理). Vitali 集是存在的, 而且有不可数个.

Claim1. 每个 Vitali 集是不可数的. 并且对 $\forall\ u,v\in V$, $u\neq v$, 有 $u-v\not\in\mathbb{Q}$.

Pf. 若 Vitali 集是可数的, 则 $\bigcup\{\mathbb{Q}+r_i\mid i=1,2,\ldots\}$ 是可数集, 与 $\mathbb{R}$ 不可数矛盾.

后者也是显然的, 如果 $u-v\in\mathbb{Q}$, 则 $u,v$ 位于同一等价类中.

Claim2. Vitali 集是不可测集.

Pf.(反证法) 假设 Vitali 集是可测的, 令 $q_1,q_2,\ldots$ 是 $[-1,1]$ 中的所有有理数. 注意到平移集 $V_k:=V+q_k=\{v+q_k\mid v\in V\}$ 两两不相交. (否则若存在 $u,v\in V$ 使得 $u+q_i=v+q_j$, 则 $u-v\in\mathbb{Q}$, 矛盾.)

进一步, 注意到

\[[0,1]\subset\bigcup_k V_k\subset [-1,2],\]

其中第二个包含关系是显然的. 第一个包含关系是因为, $\forall\ r\in[0,1]$, 设 $r$ 所在的等价类是 $v$, 即 $v=[r]$. 则 $r-v=q$, $q\in [-1,1]\cap\mathbb{Q}$. 即 $r=v+q$ 包含在某个 $V_k$ 中, 因此 $[0,1]\subset\bigcup_k V_k$.

对这些包含关系应用 Lebesgue 测度的 $\sigma$-可加性, 得

\[1\leqslant\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V_k)\leqslant 3.\]

而 Lebesgue 测度是平移不变的, $\lambda(V_k)=\lambda(V)$, 因此 $1\leq\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V)\leq 3$. 这是不可能的. 因此 $V$ 不是可测集.

换句话说, Lebesgue 测度 $\lambda$ 并非对每个集合都定义一个值.


References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set

2. [Thm]Arzelà-Ascoli 定理

Posted by haifeng on 2013-12-25 17:25:25 last update 2013-12-25 17:43:44 | Answers (0) | 收藏


Thm. 设 $K$ 是紧度量空间, 度量为 $d_K$. 令 $\mathcal{C}(K)$ 为 $K$ 上的所有实(或复)函数全体组成的集合. 设函数列 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{C}(K)$, 满足下面两个条件:

  1. (逐点有界) $\forall\ p\in K$, $\exists\ \phi(p)>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant\phi(p)$, $\forall\ p\in K$.
  2. (等度连续) $\forall\ \varepsilon>0$, $\exists\ \delta>0$, s.t. 当 $d_K(p,p\')<\delta$ 时, 都有 $|f_n(p)-f_n(p\')|<\varepsilon$, 这对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都成立.

则,

 (a) $\exists\ M>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant M$, 对任意 $p\in K$ 和 任意 $n\in\mathbb{N}$. 此时称 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一致有界.

(b) $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 包含一个一致收敛的子序列.

 


References:

http://www.math.ubc.ca/~feldman/m321/arzela.pdf

3. 压缩映射原理

Posted by haifeng on 2013-06-24 21:13:07 last update 2013-06-26 15:15:18 | Answers (2) | 收藏


压缩映射原理对于构造线性方程和非线性方程的解很有用.

【定义】设 $(X,d)$ 是一个度量空间, 映射 $T:\ X\rightarrow X$ 称为是(严格)压缩映射(contraction mapping, or contraction), 若存在一个常数 $c$, $(0\leq c < 1)$, 使得

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y)
\]

对所有 $x,y\in X$ 成立.


Thm. 设 $\bar{B}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球. 且 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是严格压缩映射. 则 $T$ 存在惟一的不动点. 即存在惟一一点 $x\in\bar{B}^n$, 使得 $T(x)=x$.


Remark:

这个定理可以推广到一般的度量空间.

Thm. 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T$ 是 $(X,\rho)$ 到其自身的一个(严格)压缩映射, 则 $T$ 在 $X$ 上存在惟一的不动点.

一般来说, 要得到不动点的存在性和惟一性, 我们得要求映射是严格压缩映射. 比如, $X=\{0,1\}$ 是离散度量空间, 度量定义为 $d(0,1)=1$. 令 $T(0)=1$, $T(1)=0$, 则 $T$ 是非严格压缩映射, 但不存在不动点. 若令 $T$ 是恒同映射, 则每一点都是不动点.

压缩映射定理是特殊的不动点定理.

值得注意的是, 某些情况下, 如果压缩映射中常数 $c$ 放宽至 $0\leq c\leq 1$ , 也可推出存在不动点, 但惟一性不成立. (此时也称这样的映射为压缩映射,而将 $c < 1$ 的映射称为严格压缩映射.)

比如:

Claim: 设 $K$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致凸子集, $T:\ K\rightarrow K$ 满足

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y),\quad\forall\ x,y\in B.
\]

这里 $c\in [0,1]$. 则 $T$ 也存在不动点.



如果要存在不动点, 更一般的, 映射只要求连续就可以了, 在拓扑学中有这样的定理. 

Brouwer 不动点定理: 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球 $\bar{B}^n$, 只要 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是连续映射, 则 $T$ 必有不动点 $x\in\bar{B}^n$.

Brouwer 不动点定理是针对有限维空间的,可以将它推广到无穷维空间的情形,这就是 Schauder 不动点定理.

Schauder 不动点定理: 设 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 连续且 $T(C)$ 列紧, 则 $T$ 在 $C$ 上必有一个不动点.

Schauder 不动点定理的一个推论讲的是:

若 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个有界闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 是紧的, 则 $T$ 在 $C$ 上必有不动点.

因此, 上面的 Claim 可以作为该推论在有限维欧氏空间时的特殊情形.

4. 一个零测度集合

Posted by haifeng on 2013-06-11 10:11:00 last update 2013-06-11 10:11:00 | Answers (0) | 收藏


给定一个有理数 $x$, 可以证明存在无穷多的分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^2}.
\]

但是, 对于那些存在无穷多个分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^3},\quad(\text{or}\ \leq\frac{1}{q^{2+\varepsilon}})
\]

成立的 $x\in\mathbb{R}$ 构成的集合来说, 却是一个零测集.

5. 一维 Cantor 集与 Cantor 函数

Posted by haifeng on 2013-01-08 23:56:34 last update 2013-01-09 00:05:09 | Answers (0) | 收藏


[Def](Devil\'s staircase/ Cantor function)

若函数 $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ 满足下述泛函条件

  1. $\frac{1}{2}\varphi(3x)+\frac{1}{2}\varphi(3x-2)\equiv\varphi(x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$;
  2. $\varphi|_{(-\infty,0]}\equiv 0$;
  3. $\varphi|_{[1,+\infty)}\equiv 1$.

则称 $\varphi|_{[0,1]}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 为 Devil\'s staircase 或 Cantor 函数.

6. Cantor 函数是一一的单调递增的连续函数, 且在 Cantor 集上是严格单调递增的.

Posted by haifeng on 2013-01-08 23:42:40 last update 2014-01-05 13:55:27 | Answers (0) | 收藏


Prop. Cantor 函数是一一的单调递增的连续函数, 且在 Cantor 集上是严格单调递增的.

Remark. Cantor 函数不是绝对连续的(absolutely continuous). 因为 $f\'$ 的积分与 $f$ 的增加值并不相同.

Q. 作为曲线, 如果 Cantor 函数处处可导(?可以吗), 即 Cantor 函数的图像在每一点处有切线, 则切线的变化必定不连续.(?)


Ref.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

7. 证明整系数多项式全体是可列的.

Posted by haifeng on 2012-12-12 11:31:44 last update 2012-12-12 13:56:35 | Answers (0) | 收藏


证明整系数多项式全体是可列的.

Proof.  整系数多项式形如

\[
P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n,
\]

其中 $a_i\in\mathbb{Z}$, $i=0,1,2,\ldots,n$, 且 $a_0\neq 0$.  将所有这种多项式构成的集合记为 $\mathcal{P}$.

我们可以将整个集合按照多项式的阶分组, 比如 $\mathcal{P}_n$ 表示所有 $n$ 阶整系数多项式全体. 则

\[\mathcal{P}=\mathcal{P}_0\cup\mathcal{P}_1\cup\mathcal{P}_1\cup\mathcal{P}_2\cup\cdots\cup\mathcal{P}_n\cup\cdots\]

于是只要证明每个 $\mathcal{P}_k$ 是可列的. 而 $\mathcal{P}_k\cong\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\cdots\times\mathbb{N}=\mathbb{N}^{k+1}$ 显然是可数集.


References

8. [References]实变函数

Posted by haifeng on 2012-12-12 11:27:40 last update 2012-12-12 11:27:40 | Answers (0) | 收藏


郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》

9. 问下列各集能否同自然数集或区间 $[0,1]$ 构成一一对应.

Posted by haifeng on 2012-12-12 11:25:05 last update 2012-12-12 11:29:22 | Answers (0) | 收藏


  1. 以有理数为端点的区间集;
  2. 闭正方形 $[0,1]^2=[0,1;0,1]=[0,1]\times[0,1]$.

如果可能, 试作这种对应方法.


References

10. 试写出下列各题中两集合之间的一一对应.

Posted by haifeng on 2012-12-12 11:04:13 last update 2015-08-27 09:56:12 | Answers (1) | 收藏


  1. $[0,1]$ 与 $(0,1)$.
  2. $[a,b]$ 与 $(-\infty,+\infty)$.
  3. 开上半平面与开单位圆盘.

由于 $\arctan$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 到 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 之间的同胚, 因此只要解决第一题即可解决第二题.

第三题, 我们要做的是将开上半平面的边界(连通无穷远)映射到开单位圆盘的边界. 也就是说, 当上半平面中的点趋向于 $x$ 轴或趋向于无穷远时, 对应的在开单位圆盘中的点将趋向于圆盘的边界.


References

郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》 P.31 第一章习题 4.

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