问题及解答

设 $f\in L^{1}(\mu)$, ($L^{1}(\mu)$ 中的元素被称为 Lebesgue 可积函数或 Lebesgue 可求和函数).

若 $f=u+iv$, 这里 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数. 对每个可测集 $E$, 定义

\[
\int_E f\mathrm{d}\mu=\Bigl(\int_E u^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E u^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr)+i\Bigl(\int_E v^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E v^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr).
\]

设 $f\in L^{1}(\mu)$, 则 $f$ 具有黎曼积分的一些类似性质.

\[
\Biggl|\int_X f\mathrm{d}\mu\Biggr|\leqslant\int_X |f|\mathrm{d}\mu.
\]

等号成立当且仅当存在常数 $\alpha$, 使得 $\alpha f=|f|$ a.e. 于 $X$ 上.

参考自 [1] P. 30.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

Pf. 令 $z=\displaystyle\int_X f\mathrm{d}\mu$. 因为 $z\in\mathbb{C}$, 故存在复数 $\alpha$, $|\alpha|=1$, 使得 $\alpha z=|z|$. 设 $u$ 是 $\alpha f$ 的实部. 则 $u\leqslant |\alpha f|=|f|$. 因此

\[
\Biggl|\int_X f\mathrm{d}\mu\Biggr|=|z|=\alpha z=\alpha\int_X f\mathrm{d}\mu=\int_X \alpha f\mathrm{d}\mu=\int_X u\mathrm{d}\mu\leqslant\int_X |f|\mathrm{d}\mu,
\]

这里第五个等号是因为 $\displaystyle\int_X \alpha f\mathrm{d}\mu$ 是实数, 所以 $\alpha f$ 的虚部的积分为零, 即 $\alpha f$ a.e. 是实数. 从而等于其实部的积分 $\int_X u\mathrm{d}\mu$.