问题及解答

设 $a,b,c$ 正整数, $a\leqslant b$. 已知 $D(a,b)=4$, $M(a,c)=M(b,c)=108$. 问这样的有序对 $(a,b,c)$ 共有多少组?

Remark:

这里 $D(a,b)=\mathrm{gcd}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最大公约数.

$M(a,b)=\mathrm{lcm}(a,b)$ 指 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数.

不妨设 $a=4k$, $b=4h$, $k\leqslant h$.

由 $M(a,c)=108$ 推出 $M(4k,c)=108=2^2\cdot 3 ^3$, 这里 $k$ 是奇数, 且形如 $k=3^i$, $i=0,1,2,3$.

$c$ 形如 $2^s\cdot 3^t$, 这里 $t=0,1,2$, $s$ 满足 $3-i\leqslant s\leqslant 3$.

类似的, 由 $M(b,c)=108$ 推出 $M(4h,c)=108=2^2\cdot 3 ^3$, 这里 $h$ 是奇数, 且形如 $h=3^j$, $j=0,1,2,3$.

但是 $D(k,h)=1$, 故必有 $k=1$, 即 $i=0$. 于是 $s=3$.

$(a,b,c)$ 对应于 $(k,h,c)=(1,3^j, 2^3\cdot 3^t)$, 因此总共有 $4\times 3=12$ 组.