设 $U\in\mathcal{M}_{2n\times 2n}(\mathbb{R})$, 且

\[U=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix},\quad A,B,C,D\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}).\]

证明: $U$ 是辛矩阵(即 $U\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$)当且仅当 $A^t C$, $B^t D$ 均是对称矩阵, 且 $A^t D-C^t B=I_n$.

特别地, 当 $B=0$ 时, $U$ 是辛矩阵当且仅当 $U$ 可以写成

\[
\begin{pmatrix}A & 0\\ 0 & (A^t)^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_n & 0\\ S & I_n\end{pmatrix},
\]

其中 $S$ 是某个对称矩阵.

Remark: 这个结论对于 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 也成立.

因为一般的辛群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})$ ($K$ 是数域) 的定义如下:

\[
\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K}):=\{A:\ \mathbb{K}^{2n}\rightarrow\mathbb{K}^{2n}\mid\omega(Ax,Ay)=\omega(x,y)\}.
\]

这里 $\omega(x,y)$ 是指斜对称双线性形式(skew-symmetric bilinear form)

\[
\omega(x,y)=\sum_{i=1}^{n}x_i y_{i+n}-y_i x_{i+n}.
\]

在至多变换基的情况下, 这是 $\mathbb{K}^{2n}$ 上唯一的非退化斜对称双线性形式.

等价的, 可以写 $\omega(x,y)=(Jx,y)$, 这里 $(\cdot,\cdot)$ 是 $\mathbb{K}^{2n}$ 上的标准对称双线性形式(标准内积).

\[
J=J_{2n}=\begin{pmatrix}
0 & -I_n\\
I_n & 0
\end{pmatrix}
\]

易见 $J^2=-I_{2n}$, $J^{-1}=-J$. 求 $\exp(J)$.

证明: 李群 $\mathrm{U}(n)$ 作为拓扑空间同胚于 $\mathrm{SU}(n)\times S^1$.

证明: $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$ 是道路连通的.

其他关于 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 的结果:

$\pi_1(\mathrm{SL}(n,\mathbb{R}))=\mathbb{Z}_2$, $\forall\ n\geqslant 3$.

[Thm] 对每个典型群 $G\subset GL(n,\mathbb{K})$, 存在向量空间 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K})$, 使得自然对数映射 $\log$ 与指数映射 $\exp$ 是 $U\cap G$ 到 $u\cap\mathfrak{g}$ 之间的互逆映射.

\[\log:\ U\cap G\rightarrow u\cap\mathfrak{g},\]

\[\exp:\ u\cap\mathfrak{g}\rightarrow U\cap G,\]

这里 $U$ 是 $1\in GL(n,\mathbb{K})$ 的某个邻域, $u$ 是 $0\in\mathfrak{g}$ 的某个邻域.

[Cor] 每个典型群是一个李群, 单位元处的切空间 $T_1 G$ 就是 $\mathfrak{g}$, 且 $\dim G=\dim\mathfrak{g}$.

References:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

设 $G$ 是作用在流形 $M$ 上的一个李群, $m\in M$.

(1) 稳定化子 $H=\mathrm{Stab}(m)=\{g\in G\mid gm=m\}$ 是 $G$ 的李子群, 其李代数为

\[\mathfrak{h}=\{x\in\mathfrak{g}\mid\rho_*(x)(m)=0\},\]

其中 $\rho_*(x)$ 是 $M$ 上相应于 $x$ 的向量场.

(2) 映射

\[
\begin{array}{rcl}
G/\mathrm{Stab}(m)&\rightarrow&M\\
g&\mapsto&g.m
\end{array}
\]

是一个浸入. 于是轨道 $\mathrm{O}_m=G\cdot m$ 是 $M$ 中的一个浸入子流形, 其切空间为 $T_m M=\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$.

(1) $\mathbb{R}^n$, 赋予欧氏度量后是光滑流形; 作为向量空间, 连同加法运算成为一个交换群.

(2) $\mathbb{R}^*,\times$, $\mathbb{R}_+,\times$

(3) $S^1=\{z\in\mathbb{C} : |z|=1\},\times$

(4) $GL(n,\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{n^2}$, $GL(n,\mathbb{C})$

许多我们考虑的群都是 $GL(n,\mathbb{R})$ 或 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群.

(5) $SU(2)=\{A\in GL(2,\mathbb{C})\mid A\bar{A}^t=I_2,\ \det(A)=1\}$. 事实上, $SU(2)$ 中的矩阵可写为

\[SU(2)=\biggl\{
\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar{\beta}&\bar{\alpha}\end{pmatrix}\ :\ \alpha,\beta\in\mathbb{C},\ |\alpha|^2+|\beta|^2=1.
\biggr\}\]

(参见问题793的答案)

当写 $\alpha=x_1+ix_2$, $\beta=x_3+ix_4$, $x_i\in\mathbb{R}$ 时, 我们看到 $SU(2)$ 微分同胚于

\[S^3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}\subset\mathbb{R}^4.\]

(6) 事实上, 线性代数中通常的群, 如 $GL(n,\mathbb{R})$, $SL(n,\mathbb{R})$, $O(n,\mathbb{R})$, $U(n)$, $SO(n,\mathbb{R})$, $SU(n)$, $Sp(2n,\mathbb{R})$ 都是李群.(参见问题847中的推论.)

Reference:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

李群 $G$ 的单位元的连通分支 $G^0$ 是 $G$ 的正规子群, 且仍是一个李群. 商群 $G/G^0$ 是离散的.

Remark:

这个定理将任意李群的研究约化为对有限群以及连通李群的研究. 事实上, 我们可以进一步将连通李群的研究约化为单连通李群的研究.

一个集合 $G$ 如果它既是群, 又是(smooth 的实)流形, 并且这两个结构(群结构与微分结构)相容, 即群的乘法与逆运算是 smooth 映射. 则称 $G$ 是李群.

值得注意的是: 其中逆运算是光滑的这一条件可以去掉, 因为对于李群, 可以证明逆运算是光滑的, 但是对于拓扑群做不到. (参见梅加强著 《流形与几何初步》推论1.6.2)

李群之间的同态是指保持群运算的光滑映射: $f(gh)=f(g)f(h)$, $f(1)=1$.

Remark:

(1) 这里的 smooth 没有翻译成“光滑”, 主要是因为英文中的 smooth 可以用多种情形解释. 如 $C^1$-smooth, $C^\infty$-smooth, 或 analytic (解析).

可以证明, 在李群的定义中, 这些都是等价的(见下面的定理), 因此我们总是假定 $G$ 是光滑(指 $C^\infty$-光滑)流形. 另为可以类似地定义复李群, 但如果不特别指明, 我们所讲的李群都是指实李群.

[Thm] 每个 $C^0$ 李群都有惟一的解析结构.

这是一个非平凡结果, 它是 Hilbert 20 个问题之一.

不过从 $C^2$ 推出解析性非常容易, 可参见 [2,$\S$1.6]

(2) 注意李群的定义中并没有要求 $G$ 是连通的. 因此任意有限群都是 0 维李群. 由于有限群的理论已经足够复杂, 因此将有限群(更一般的, 离散群)单独分开来考虑.

[Thm] 李群 $G$ 的单位元的连通分支 $G^0$ 是 $G$ 的正规子群, 且仍是一个李群. 商群 $G/G^0$ 是离散的. (证明参见问题844)

这个定理把任意李群的研究约化为对有限群的研究和连通李群的研究. 事实上, 对于连通李群的研究可以进一步约化为对单连通李群的研究.

[Def] 李子群

李群 $G$ 的子群 $H$ 若是 $G$ 的子流形, 则称 $H$ 是 $G$ 的李子群.

Remark:

这里的子流形应理解为“嵌入子流形”. 特别地, 这意味着 $H$ 是局部闭的(locally closed), 但不必是闭的. 但后面会证明, 它自动是闭的.

一些书定义李子群(Lie subgroup) 时，子流形指更一般的“浸入子流形”. 而这里我们称之为

[Def] 李群的浸入子群(an immersed subgroup in a Lie group)

设 $G$ 是李群, $H\subset G$, 若 $H$ 满足

(1) $H$ 是 $G$ 的子群.
(2) $H$ 是一浸入子流形. $H=\mathrm{Im}(i)$, $i:\tilde{H}\hookrightarrow G$ 是一单的浸入.

Remark: 这个术语不是十分标准: 我们称为的浸入子群在其他书中被称为“解析子群(analytic subgroup)”或甚至是“李子群(Lie subgroup)”.

这里的内容译自 [1].

References:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

[2] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, 2000.

设 $X,Y$ 是李群 $G$ 上的向量场, $f,f_1,f_2\in C^\infty(G)$.

$Xf:\ G\rightarrow\mathbb{R}$ 定义为 $Xf(g):=X_g f$. 其中 $X_g f$ 表示函数 $f$ 在 $g$ 点对于切向量 $X_g$ 的方向导数. 即

\[X_g(f):=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\bigl(f(\theta_{\Delta t}(g))-f(g)\bigr),\]

(其中 $\theta$ 是单参数子群, 参见问题840.)

验证 $X$ 可作为求导运算的算子, 即满足“求导”性质:

\[X(f_1\cdot f_2)=(Xf_1)\cdot f_2+f_1(Xf_2).\tag{$*$}\]

反之, 任何满足上述性质的运算 $D$ 一定是关于某一个向量场的上述“求导”运算. 即: 设 $D$ 为任何对 $G$ 上所有的可微函数 $f$ 都有定义的一个运算, 而且具有 ($*$) 式所表示的性质, 则必有唯一的一个向量场 $X$, 使得 $Df=Xf$ 对所有的 $f$ 都成立.

References:

项武义, 侯自新, 孟道骥 著 《李群讲义》 北京大学出版社.

设 $G$ 是一个群, $X$ 是一个集合. 群 $G$ 称为(左)作用在集合 $X$ 上, 如果存在映射 $\theta: G\times X\rightarrow X$, 使得满足下面两个条件:

(i) 若 $e$ 是群 $G$ 的单位元, 则 $\theta(e,x)=x$, $\forall\ x\in X$.

(ii) 若 $g_1,g_2\in G$, 则 $\theta(g_1,\theta(g_2,x))=\theta(g_1g_2,x)$, $\forall\ x\in X$.

当 $G$ 是拓扑群, $X$ 是拓扑空间, 且 $\theta$ 连续时, 称此群作用是连续的.

当 $G$ 是李群, $X$ 是光滑流形, $\theta$ 是 $C^\infty$ 映射时, 我们称此群作用 $C^\infty$ 的.

很多时候我们简记 $\theta(g,x)$ 为 $gx$. 因此条件中的 (ii) 可写为 $g_1(g_2 x)=(g_1g_2)x$.

根据 $\theta$, 对每个固定的 $g$, 定义了映射 $\theta_g:\ X\rightarrow X$, $\theta_g(x):=\theta(g,x)=gx$.

因此 (ii) 也可改写为

\[\theta_{g_1}\circ\theta_{g_2}=\theta_{g_1g_2}\]

群的右作用, 定义是类似的, 只要将上面的两个条件改为

(i) $\theta(x,e)=x$, $\forall\ x\in X$.

(ii) $\theta(\theta(x,g_1),g_2)=\theta(x,g_1g_2)$.

通常我们考虑左作用. 两种情况都称为群作用.

注意到 $\theta_{g^{-1}}=(\theta_g)^{-1}$, 因为

\[\theta_{g^{-1}}\circ\theta_{g}=\theta_{g^{-1}g}=\theta_{e}=\text{id}_X,\]

其中 $\text{id}_X$ 是 $X$ 上的恒同映射.

这意味着每个 $\theta_g$ 都是一个一一在上映射, 因此加上 (ii) 可推出下面的结论.

Claim. 若群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, 则映射 $g\mapsto\theta_g$ 是群 $G$ 到 $S(X)$ 的一个同态. 反之, 群 $G$ 到 $S(X)$ 的任一个同态确定一个 $X$ 上的一个群作用. $\theta(g,x)=\theta_g(x)$.

[Def] 注意到同态 $G\rightarrow S(X)$ 是单射当且仅当 $\theta_g=\text{id}_X\Rightarrow g=e$. 此时, 我们称此群作用是有效的(effective).

当群作用是有效时, 通过映射 $g\mapsto\theta_g$ 可将 $G$ 等同于置换群 $S(X)$ 的一个子群.

[Def] 设 $X$ 是一个 $G$-空间, $G$ 对 $X$ 的群作用是自由的(free), 如果有某个 $x\in X$, 使得 $x\cdot g=x$, 则这个 $g$ 一定是单位元. 换句话说, 若 $g\neq e$, 则对任意 $x\in X$, 有 $x\cdot g\neq x$.

若 $X$ 是拓扑空间($C^\infty$ 流形), $G$ 是拓扑群(李群), 并且群作用是连续的($C^\infty$ 的), 则每个 $\theta_g$ 是一个同胚(微分同胚).

译自

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edtion. P.91--92.