问题及解答

李群 $G$ 的单位元的连通分支 $G^0$ 是 $G$ 的正规子群, 且仍是一个李群. 商群 $G/G^0$ 是离散的.

Remark:

这个定理将任意李群的研究约化为对有限群以及连通李群的研究. 事实上, 我们可以进一步将连通李群的研究约化为单连通李群的研究.

我们需要证明 $G^0$ 在乘法与求逆运算下是封闭的. 由于连续映射保持拓扑空间的连通性. 因此, 求逆运算 $i$ 必将 $G^0$ 映射到 $G$ 的一个连通分支. 而 $i(1)=1$, 因此这个连通分支就是 $G^0$. 类似的, 乘法运算 $\times:\ G^0\times G^0\rightarrow G$ 是连续的, 因此 $G^0\times G^0$ 在该映射下的像也是连通的, 包含在 $1$ 的连通分支中, 即 $G^0$ 中. 因此 $G^0$ 是 $G$ 的一个子群.

下面证明 $G^0$ 是一个正规子群. 任取 $g\in G$, $h\in G^0$, 我们要证明 $ghg^{-1}\in G^0$. 共轭运算

\[
\begin{array}{rcl}
\sigma_g:\ G^0&\rightarrow& G\\
h&\mapsto& ghg^{-1}
\end{array}
\]

是连续的, 它将 $G^0$ 映入 $G$ 的某个连通分支中, 由于 $\sigma_g(1)=1$, 故这个连通分支就是 $G^0$.

最后商空间是离散的是显然的. (根据商拓扑的定义.)