[Thm] 对每个典型群 $G\subset GL(n,\mathbb{K})$, 存在向量空间 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K})$, 使得自然对数映射 $\log$ 与指数映射 $\exp$ 在 $G$ 的单位元附近与 $0$ 的附近是互逆映射.
[Thm] 对每个典型群 $G\subset GL(n,\mathbb{K})$, 存在向量空间 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(n,\mathbb{K})$, 使得自然对数映射 $\log$ 与指数映射 $\exp$ 是 $U\cap G$ 到 $u\cap\mathfrak{g}$ 之间的互逆映射.
\[\log:\ U\cap G\rightarrow u\cap\mathfrak{g},\]
\[\exp:\ u\cap\mathfrak{g}\rightarrow U\cap G,\]
这里 $U$ 是 $1\in GL(n,\mathbb{K})$ 的某个邻域, $u$ 是 $0\in\mathfrak{g}$ 的某个邻域.
[Cor] 每个典型群是一个李群, 单位元处的切空间 $T_1 G$ 就是 $\mathfrak{g}$, 且 $\dim G=\dim\mathfrak{g}$.
References:
[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]