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几何 >> 微分几何 >> 李群
Questions in category: 李群 (Lie group).

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1

[Def]李群的同构

Posted by haifeng on 2017-04-25 11:43:47 last update 2017-04-25 11:43:47 | Answers (0) | 收藏

两个李群 $G_1, G_2$ 被称为是同构的(isomorphic), 如果存在映射 $\varphi: G_1\rightarrow G_2$, 使得

(1) $\varphi$ 是群同构映射.

(2) $\varphi$ 是微分流形 $G_1$ 到 $G_2$ 的一个微分同胚.

此时, 称 $\varphi$ 是李群 $G_1$ 到 $G_2$ 上的(李群的)同构映射.

 

References:

项武义, 侯自新, 孟道骥 著 《李群讲义》. P. 29

2

典型群的李代数、维数以及拓扑结构

Posted by haifeng on 2017-04-09 21:23:24 last update 2017-04-09 21:35:37 | Answers (0) | 收藏

$G$ $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ $\mathrm{O}(n,\mathbb{R})$ $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ $\mathrm{U}(n)$ $\mathrm{SU}(n)$ $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$
$\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}(n,\mathbb{R})$ $\mathrm{tr} x=0$ $x+x^t=0$ $x+x^t=0$ $x+x^*=0$ $x+x^*=0,\mathrm{tr} x=0$ $x+Jx^t J^{-1}=0$
$\dim G$ $n^2$ $n^2-1$ $\frac{n(n-1)}{2}$ $\frac{n(n-1)}{2}$ $n^2$ $n^2-1$ $n(2n+1)$
$\pi_0(G)$ $\mathbb{Z}_2$ $\{1\}$ $\mathbb{Z}_2$ $\{1\}$ $\{1\}$ $\{1\}$ $\{1\}$
$\pi_1(G)$ $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ $\mathbb{Z}_2(n\geqslant 3)$ $\mathbb{Z}$ $\{1\}$ $\mathbb{Z}$

 

对于复典型群, 其李代数和维数的公式与实李群一致. 但是复李群的拓扑与实的有所不同, 见下表.

$G$ $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$ $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$
$\pi_0(G)$ $\{1\}$ $\{1\}$ $\mathbb{Z}_2$ $\{1\}$
$\pi_1(G)$ $\mathbb{Z}$ $\{1\}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$

 

注意到一些典型群并不是单连通的. 如在问题868所证, 此时其万有覆盖空间具有典型的李群结构. 其中特别重要的是 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 的万有覆盖, 我们称之为 spin 群, 记为 $\mathrm{Spin}(n)$. 这样称的原因是 $\pi_1(\mathrm{SO}(n,\mathbb{R}))=\mathbb{Z}_2$, 这是一个二重覆盖(twofold cover).

 

 

References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras.

 

 

3

$\exp(x)\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})\Leftrightarrow x+Jx^t J^{-1}=0$

Posted by haifeng on 2017-04-09 15:12:53 last update 2017-04-09 15:12:53 | Answers (1) | 收藏

证明: $\exp(x)\in\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{K})\Leftrightarrow x+Jx^t J^{-1}=0$. 这里 $x\in\mathcal{M}(2n,\mathbb{K})$.

4

令 $\mathrm{Sp}(n):=\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})\cap\mathrm{SU}(2n)$. 证明 $\mathrm{Sp}(n)$ 是一个紧致实李群, 并计算它在单位元 $1$ 处的切空间.

Posted by haifeng on 2017-03-30 11:03:20 last update 2017-03-30 11:08:11 | Answers (0) | 收藏

令 $\mathrm{Sp}(n):=\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})\cap\mathrm{SU}(2n)$. 证明 $\mathrm{Sp}(n)$ 是一个紧致实李群, 并计算它在单位元 $1$ 处的切空间.

这个群有时被称为四元数酉群(quaternioic unitary group).

证明 $\mathfrak{sp}(n)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$. 于是 $\mathrm{Sp}(n)$ 是 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 的紧致实形式.

 

 

References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie groups and Lie Algebras, Exercises 2.7, 3.16.

 

 

 

5

连通李群的基本群总是可交换的.

Posted by haifeng on 2017-03-04 15:00:13 last update 2017-03-04 15:27:35 | Answers (0) | 收藏

设 $G$ 是一个连通李群, 证明 $\pi_1(G)$ 是可交换群.

 

Hint: 考虑万有复叠映射 $p:\widetilde{G}\rightarrow G$, ($\widetilde{G}$ 上有自然的李群结构), 于是 $\ker p=\pi_1(G)$.

注意到 $\ker p$ 是连通李群 $\widetilde{G}$ 的正规离散子群, 然后应用问题1893 即可证明.

6

证明: 连通李群的每个离散正规子群是central的.

Posted by haifeng on 2017-03-04 14:37:36 last update 2017-06-18 09:27:17 | Answers (1) | 收藏

证明: 连通李群的每个离散正规子群是central的.

 

Remark:

群 $G$ 的中心记为 $Z(G)=\{g\in G\mid gh=hg, \forall h\in G\}$. 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群, 如果 $H\leq Z(G)$, 则称 $H$ 是 central 的.

 

将上题的结论应用到李群 $G$ 的万有覆盖映射 $\pi:\widetilde{G}\rightarrow G$ 的 kernel, 证明: 对于任意连通李群 $G$, 其基本群 $\pi_1(G)$ 都是可交换的.

7

$L_X T$ 的公式

Posted by haifeng on 2016-04-07 04:09:28 last update 2016-04-07 04:48:16 | Answers (2) | 收藏

Prop. 设 $X,T$ 分别为流形 $M$ 上的向量场和 $(0,p)$-型张量, 则

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots, Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots, Y_p).
\]

 

写成局部坐标的形式, 以 (0,2)-型张量为例

\[
(L_X T)^{jk}=X^i\frac{\partial T^{jk}}{\partial x^i}-T^{ik}\frac{\partial X^j}{\partial x^i}-T^{ji}\frac{\partial X^k}{\partial x^i}.
\]

 

8

对于 $M$ 上的向量场 $X,Y$, 有 $L_X Y=[X,Y]$.

Posted by haifeng on 2016-04-07 03:49:35 last update 2016-04-07 03:49:35 | Answers (1) | 收藏

Prop. 对于 $M$ 上的向量场 $X,Y$, 有 $L_X Y=[X,Y]$. 

 

Remark:

因此对于沿着向量场 $X$ 的作用在向量场 $Y$ 上的李导数, $L$ 关于 $X$ 也是线性的.

9

李导数(Lie derivatives)

Posted by haifeng on 2016-04-07 03:41:02 last update 2016-04-07 04:18:31 | Answers (0) | 收藏

李导数

设 $X$ 是流形 $M$ 上的一向量场, $F^t$ 是相应于 $X$ 的 $M$ 上的局部定义的一个流(flow). (注意: 局部定义的这样的流总是存在的.)

于是 $F^t(p)$ 在 $t$ 很小时有定义, 且曲线 $t\mapsto F^t(p)$ 是 $X$ 的积分曲线(显然当 $t=0$ 时经过点 $p$.) 张量沿 $X$ 方向的李导数 (Lie derivative) 定义为关于张量沿着由 $X$ 生成的流移动时的 Taylor 展开式中的一阶项.

 

(1) 考虑 (0,0) 张量

设 $f: M\rightarrow\mathbb{R}$ 是流形 $M$ 上的一个函数, 则

\[
f(F^t(p))=f(p)+t(L_X f)(p)+o(t),
\]

其中李导数 $L_X f$ 正好是方向导数 $D_X f=df(X)$. 我们也可以这样写

\[
\begin{aligned}
f\circ F^t &=f+tL_X f+o(t),\\
L_X f &=D_X f=df(X).
\end{aligned}
\]

所以 $L$ 关于 $X$ 是线性的.

(2) 当所考虑的张量为向量场 $Y$ 时, 事情变得稍微有点复杂. 我们将考虑 $Y|_{F^t}$, 但在不同的切空间中, 不能直接将 $Y|_{F^t}$ 直接与 $Y$ 作比较. 于是我们来看 $T_p M$ 中的曲线 $t\mapsto DF^{-t}(Y|_{F^t(p)})$. (这里 $DF^{-t}$ 指的是逆向流 $F^{-t}$ 的切映射.) 然后在 0 附件关于 $t$ 作 Taylor 展开. 对某个向量 $(L_X Y)_p\in T_p M$, 我们有

\[
DF^{-t}(Y|_{F^t(p)})=Y|_{p}+t(L_X Y)|_{p}+o(t).
\]

容易证明 $L_X Y=[X,Y]$. 参见问题1811. 从而也可作为李导数的另外一种定义.

 

(3) 我们来定义关于 $(0,p)$-型张量 $T$ 的李导数, 并给出关于这个李导数的一个代数公式.

定义 $L_X T$ 为

\[
(F^t)^* T=T+t(L_X T)+o(t).
\]

或更确切地,

\[
\begin{split}
\bigl((F^t)^* T\bigr)(Y_1,\ldots, Y_p)&=T(DF^t(Y_1),\ldots,DF^t(Y_p))\\
&=T(Y_1,\ldots, Y_p)+t(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)+o(t).
\end{split}
\]

我们有下面的性质

Prop. 设 $X,T$ 分别为流形 $M$ 上的向量场和 $(0,p)$-型张量, 则

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots, Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots, Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots, Y_p).
\]

证明见问题1812.


 

References:

Translate from the book written by Peter Peterson, 《Riemannian Geometry》

10

证明: $\det(r(\Lambda))=|\det\Lambda|^2$.

Posted by haifeng on 2014-09-19 00:14:25 last update 2014-09-19 00:29:21 | Answers (1) | 收藏

这里 $\Lambda=A+iB$, 其中 $A,B\in GL(n,\mathbb{R})$. $i=\sqrt{-1}$.

\[
r(\Lambda)=\begin{pmatrix}
A & B\\
-B & A\\
\end{pmatrix}
\]


Hint. $\det\Lambda$ 实际上是一个复数, 因此

\[
|\det\Lambda|^2=\det\Lambda\cdot\overline{\det\Lambda}=\det\Lambda\cdot\det\bar{\Lambda}.
\]

 

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