考虑 $S^1$ 在 $S^3$ 上的作用: $t.(z_1,z_2)=(t^{m_1}z_1,t^{m_2}z_2)$. 找出该作用的轨道(它们与 $m_1,m_2$ 有关).

并想象环面 $T^p$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上的类似群作用.

当 $m_1,m_2$ 互素时, 证明此作用具有不变:

\[(0|1,(m_1,\beta)(m_2,m_2-\alpha)),\quad\beta m_2-\alpha m_1=1.\]

设 $G=\mathbb{C}^*$ 在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 上的作用为

\[\lambda.v:=\lambda v,\quad \lambda\in\mathbb{C}^*,\ v\in\mathbb{C}^{n+1}.\]

设 $X$ 是由该作用生成的所有轨道组成的空间, 轨道即等价类. 任取两个点 $z,w\in\mathbb{C}^{n+1}$,

\[z\sim w\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbb{C}^*,\ \text{s.t.}\ z=\lambda w.\]

因此

\[X=\{X_v\mid v\in\mathbb{C}^{n+1}\},\qquad X_v=\{\lambda v\mid \lambda\in\mathbb{C}^*\}\]

证明: 在商拓扑之下, 包含 $[0]$ 的开集仅有 $X$ 本身. 从而 $X$ 不是 Hausdorff 的. 而 $X\setminus [0]$ 是 Hausdorff 的, 而且是紧的. 这就是复射影空间 $\mathbb{C}P^n$.

设 $H$ 是李群 $G$ 的闭子群, $\pi:G\rightarrow G/H$ 是商映射. 证明在 $G/H$ 上存在惟一的光滑结构, 使之成为一个光滑流形, 且满足

(1) 商映射 $\pi$ 是可微映射.

(2) 任取 $[x]\in G/H$, 存在 $[x]$ 的一个邻域 $U$, 及 $\pi$ 的可微局部截面 $\sigma:U\rightarrow G$.

Hint: 李群的闭子群是李子群(见问题876), 而李群对李子群的陪集空间可赋予光滑结构(见问题883), 成为 $\dim G-\dim H$ 维光滑流形. 并且 $\pi:G\rightarrow G/H$ 是一个纤维丛, 其纤维微分同胚于 $H$.

[Thm] 设 $G$ 是一个连通李群, $\mathfrak{g}$ 是其李代数. 则 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是相应于李代数 $\mathfrak{z}(g)$ 的李群.

证明: 李群 $G$ 的李代数 $\mathfrak{g}$ 总是其中心和交换子的直和: $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$. 并且交换子是半单的.

回忆: 李代数 $\mathfrak{g}$ 的中心定义为

\[\mathfrak{z}=\mathfrak{z}(g):=\{x\in\mathfrak{g}\mid [x,y]=0,\ \forall\ y\in\mathfrak{g}\},\]

显然 $\mathfrak{z}(g)$ 是 $\mathfrak{g}$ 的一个理想.

[Def](半单李代数) 一个李代数 $\mathfrak{g}$ 称为是半单的(semisimple), 如果它没有非零可交换理想, 特别的, 此时推出 $\mathfrak{z}(g)=0$. 单李代数当然是半单的.

或等价的, 如果李代数没有非零可解理想, 则称为半单李代数.

$O(3)$ 是由所有保持内积不变或等价的保持 $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ 不变的线性变换构成的群. 也称三维旋转群. $O(3)$ 中的元素一一对应到正交矩阵. 因此 $O(3)$ 也可定义为

\[O(3)=\{A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{3\times 3}\mid A^T A=I\}.\]

其中 $\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$ 是指所有 $3\times 3$ 矩阵的集合, $I$ 指单位矩阵.

易见 $O(3)$ 中的方阵, 其行列式要么是 $+1$, 要么是 $-1$. 前者这样的矩阵所对应的线性变换称为纯旋转(变换)(pure rotation), 其构成的集合记为

\[SO(3)=\{A\in O(3)\mid\det{A}=1\},\]

容易验证它是 $O(3)$ 的一个子群.

后者这样的矩阵所对应的线性变换描述了一个复合变换: 旋转+反射.

酉群 $U(n)$ 定义为:

\[U(n)=\{A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{C})\mid A^*A=I_n\},\]

其中 $A^*$ 指矩阵 $A$ 的共轭转置(也叫 Hermitian conjugate), 即 $A^*=\bar{A}^T$, $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵.

\[SU(n)=\{A\in U(n)\mid \det{A}=1\}.\]