问题及解答

[Thm] 设 $G$ 是一个连通李群, $\mathfrak{g}$ 是其李代数. 则 $G$ 的中心 $Z(G)$ 是相应于李代数 $\mathfrak{z}(g)$ 的李群.

设 $g\in G$, $\exp(tx)$ 是 $G$ 的单参数子群. $\mathrm{Ad}: G\rightarrow\mathrm{GL}(\mathfrak{g})$ 是伴随作用. 从恒等式

\[\exp(\mathrm{Ad}g.tx)=g\exp(tx)g^{-1}\]

可知, $g$ 与单参数子群 $\exp(tx)$ 中的所有元素可交换当且仅当 $\mathrm{Ad}g.x=0$.

由于 $G$ 是连通李群, 因此 $\exp(tx)$ 就可以生成 $G$. 注意到

\[g\in Z(G)\Leftrightarrow gh=hg,\ \forall\ h\in G\Leftrightarrow\mathrm{Ad}g.x=0\ \forall\ x\in\mathfrak{g}.\]

换句话说, $Z(G)=\ker\mathrm{Ad}$.

References:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]