为什么李群被经常提及和利用, 其基本原因是它们是各种几何对象的对称群.

Definition 2.14

李群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用是指对于每个 $g\in G$, 赋予 $M$ 上一个微分同胚, 即 $\rho(g)\in\mathrm{Diff}M$, 使得

\[\rho(1)=\mathrm{id},\quad\rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\]

并且映射

\[
\begin{array}{rcl}
G\times M&\rightarrow& M\\
(g,m)&\mapsto&\rho(g).m
\end{array}
\]

是光滑的.

Example 2.15

(1) 一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ (从而它的任意李子群) 作用在 $\mathbb{R}^n$ 上.

(2) 正交群 $\mathrm{O}(n,\mathbb{R})$ 作用在球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ 上.

(3) 酉群 $\mathrm{U}(n)$ 作用在 $S^{2n-1}\subset\mathbb{C}^n$ 上.

与流形上群作用密切相关的概念是表示.

Definition 2.16(表示)

李群 $G$ 的表示是指某个线性空间 $V$ 连同群同态 $\rho:G\rightarrow\mathrm{End}(V)$ 一起称为李群 $G$ 在 $V$ 上的表示.

粗略地讲, 就是将 $G$ 中的元素表现为某个线性空间 $V$ 的自同态, 并且保持 $G$ 中运算: $\rho(g)\rho(h)=\rho(gh)$.

若 $V$ 是有限维的, 则我们要求

\[
\begin{array}{rcl}
G\times V&\rightarrow& V\\
(g,v)&\mapsto&\rho(g).v
\end{array}
\]

是光滑映射, 从而 $\rho$ 是李群之间的同态.

两个表示 $(V,\rho_V)$, $(W,\rho_W)$ 之间的同态是指线性映射 $f:V\rightarrow W$ 满足与群作用可交换:

\[f\rho_V(g)=\rho_W(g)f\]

在不发生混淆的时候, 我们常记 $g.v=\rho(g).v$

Remark 2.17.

注意, 有时我们经常考虑李群 $G$ 的复向量空间 $V$ 表示, 即使对于实李群 $G$ 也这么做.

群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于 $M$ 的不同向量空间给出 $G$ 的不同表示:

(1) 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于(无穷维)光滑函数空间 $C^\infty(M)$, 其表示定义为

\[
\begin{array}{rcl}
\rho(g):\ C^\infty(M)&\rightarrow& C^\infty(M)\\
f&\mapsto&\rho(g)f:=f(g^{-1}.\ )
\end{array}
\]

即 $(\rho(g)f)(m):=f(g^{-1}.m)$, $\forall\ m\in M$.

注意这里定义为 $f(g^{-1}.m)$ 而非 $f(g.m)$, 是为了满足 $\rho(g)\rho(h)=\rho(gh)$. 事实上,

\[\bigl(\rho(g)\rho(h)f\bigr)(m)=\rho(g)f(h^{-1}.m)=f(h^{-1}.(g^{-1}.m))=f((gh)^{-1}.m)=\bigl(\rho(gh)f\bigr)(m).\]

(2) 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于(无穷维)向量场空间 $\mathrm{Vect}(M)$, 其表示定义为

\[
\begin{array}{rcl}
\rho(g):\ \mathrm{Vect}(M)&\rightarrow& \mathrm{Vect}(M)\\
v&\mapsto&\rho(g).v:=g_*(v(g^{-1}.\ ))
\end{array}
\]

即 $(\rho(g).v)(m):=g_*(v(g^{-1}.m))$, $\forall\ m\in M$. 这里 $g_*$ 是由同胚映射 $\rho_g: M\rightarrow M$ 所诱导的切映射 $(\rho_{g})_*: TM\rightarrow TM$.

类似地, 可以定义群 $G$ 基于 $M$ 上微分形式空间的表示, 以及 $M$ 上其他各种类型张量场空间的表示.

(3) 假设 $m\in M$ 是群作用 $G\times M\rightarrow M$ 的稳定点, 即 $g.m=m$, $\forall\ g\in G$. 则可定义 $G$ 在切空间 $T_m M$ 上的一个典范表示:

\[\rho(g)=g_*:\ T_m M\rightarrow T_m M\]

类似可对余切空间 $T_m^* M$ 及余切丛空间 $\bigwedge^k T_m^* M$ 定义相应的表示.

译自

[Kirillov] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

设 $f:G_1\rightarrow G_2$ 是李群之间的同态. 则 $H=\ker f$ 是 $G_1$ 中的正规李子群, 且 $f$ 诱导出单同态 $G_1/H\rightarrow G_2$, 且这是流形 $G_1/H$ 到 $G_2$ 的浸入映射.

若 $\mathrm{Im}f$ 是闭的, 则 $\mathrm{Im}f$ 是 $G_2$ 中的李子群, 并且 $f$ 诱导出李群之间的同构: $G_1/H\cong \mathrm{Im}f$.

Example 2.13

设 $G_1=\mathbb{R}$, $G_2=T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$; 定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
f:\ G_1&\rightarrow & G_2\\
t&\mapsto&(t\mod\ \mathbb{Z},\ \alpha t\mod\ \mathbb{Z})
\end{array}
\]

这里 $\alpha$ 是无理数. 众所周知, $f$ 的像在 $T^2$ 处处稠密(参见问题1611). (有时称 $f$ 是环面上的 irrational winding.)

此时, $H:=\ker f=\{0\}$, $\mathrm{Im}f$ 是 $T^2$ 中的闭集, 因此 $\mathrm{Im}f\cong\mathbb{R}$.

李群 $G$ 对于其中的李子群 $H$, 当然也可以作陪集 $G/H$. 下面的定理说明陪集实际上是一个流形.

Theorem 2.10

(1) 设 $G$ 是 $n$ 维李群, $H\subset G$ 是 $k$ 维李子群. 则陪集 $G/H$ 上可赋予一个自然的微分结构, 使之成为 $n-k$ 维流形, 并使得典范映射

\[p:\ G\rightarrow G/H\]

是纤维丛, 其纤维微分同胚于 $H$. 在 $\bar{1}=p(1)$ 处的切空间为

\[T_{\bar{1}}(G/H)=T_1 G/T_1 H.\]

(2) 若 $H$ 是正规李子群, 则 $G/H$ 具有典范结构而成为李群.

Corollary 2.11.

(1) 若 $H$ 是连通李子群, 则 $G$ 的连通分支个数等于 $G/H$ 的连通分支个数, 即 $\pi_0(G)=\pi_0(G/H)$. 特别的, 若 $H$, $G/H$ 都是连通的, 则 $G$ 也是连通的.

(2) 若 $G, H$ 都连通, 则存在下面的群正合序列

\[\pi_2(G/H)\rightarrow\pi_1(H)\rightarrow\pi_1(G)\rightarrow\pi_1(G/H)\rightarrow\{1\}\]

Remark:

这个推论是由更一般的关于任意纤维丛同伦群的长正合序列导出的.

设 $A,B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$, $\lambda\in\mathbb{F}$. 这里 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, 或 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$. 证明:

(1) 当 $AB=BA$ 时, $e^A e^B=e^{A+B}$.

(2) 当 $[A,B]=\lambda I_n$ 时, $e^A e^B=e^B e^A e^{[A,B]}$.

Example:

(1) 中条件如果不满足时, 则有反例. 若令

\[A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 &0 \\ \end{array}\right),\quad\quad B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 &0 \\ \end{array}\right)\]

则我们得到

\[[A,B] = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right)\]

\[e^A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right ),\quad\quad e^B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right),\quad\quad e^{[A,B]} = \left(\begin{array}{cc} e & 0 \\ 0 & e^{-1} \\ \end{array}\right)\]

\[e^A e^B = \left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right)\]

\[e^B e^A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right)\]

从而

\[e^B e^A e^{[A,B]}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} e & 0 \\ 0 & e^{-1} \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} e & e^{-1} \\ e & 2e^{-1} \\ \end{array}\right)\neq e^A e^B\]

Reference

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=255395

http://www.jstor.org/discover/10.2307/2162208?uid=3737800&uid=2129&uid=2134&uid=374415477&uid=2&uid=70&uid=3&uid=374415467&uid=60&sid=21101125311297

$\mathfrak{g}=T_1 G$ 是一个向量空间, 除向量空间的结构外, 还可以(局部)赋予代数结构.

由于指数映照局部地将 $G$ 等同于 $\mathfrak{g}$, 故 $G$ 中的乘法在 $\mathfrak{g}$ 中定义了某种运算. 也就是说, 取足够小的 $x,y\in\mathfrak{g}$, $\exp(x)\exp(y)$ 将十分接近 $1\in G$.

因此在 $(0,0)\in\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}$ 的小邻域中可定义光滑映射 $\mu:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$, 将上面的 $\exp(x)\exp(y)$ 写成如下形式

\[\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))\]

Lemma 3.11 $\mu(x,y)$ 的 Taylor 展开为

\[\mu(x,y)=x+y+\lambda(x,y)+\cdots\]

其中 $\lambda:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 是一个双线性反对称映射, $\cdots$ 代表阶数大于等于 $3$ 的项.

Pf. 定义在 $(0,0)$ 附近的任意光滑映射 $\mu(x,y)$ 都可以写成

\[\alpha_1(x)+\alpha_2(y)+Q_1(x)+Q_2(y)+\lambda(x,y)+\cdots\]

其中 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 的光滑映射; $Q_1,Q_2$ 是二次的, $\lambda$ 是双线性的. (这实际上就是 Taylor 展开.)

在 $\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))$ 中令 $y=0$, 得 $\exp(x)\exp(0)=\exp(\mu(x,0))$. 注意 $\exp(0)=1\in G$. 因此, $\mu(x,0)=x$. 另一方面, $\mu(x,0)=\alpha_1(x)+\alpha_2(0)+Q_1(x)+Q_2(0)+\lambda(x,0)+\cdots$. 由于 $\alpha_2, \lambda$ 关于 $y$ 都是线性的, 因此, $\alpha_2(0)=0=\lambda(x,0)$, 而 $Q_2(y)$ 关于 $y$ 是二次的, 故 $Q_2(0)=0$. 那些关于 $x,y$ 阶数大于等于 3 的在 $y=0$ 时也等于 0. 因此我们有 $\mu(x,0)=\alpha_1(x)+Q_1(x)$.

\[\alpha_1(x)=x,\quad Q_1(x)=0.\]

类似的, 在 $\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))$ 中令 $x=0$, 可得 $\mu(0,y)=y$. 从而

\[\alpha_2(y)=y,\quad Q_2(y)=0.\]

因此,

\[\mu(x,y)=x+y+\lambda(x,y)+\cdots\]

要证明 $\lambda$ 是反对称的, 只需证明 $\lambda(x,x)=0$. (因为 $0=\lambda(x+y,x+y)=\lambda(x,y)+\lambda(y,x)$.)

注意到(by $\exp((t+s)x)=\exp(tx)\exp(sx)$)

\[\exp(\mu(x,x))=\exp(x)\exp(x)=\exp(2x),\]

因此, $\mu(x,x)=x+x$. 而 $\mu(x,x)=x+x+\lambda(x,x)+\cdots$, 故(从阶的角度)推出 $\lambda(x,x)$ 和 $\cdots$ 部分都等于 0. 即证明了 $\lambda(x,x)=0$.

Q.E.D of Lemma 3.11

传统上, 也是为了后面能清楚地解释, 我们记 $[x,y]=2\lambda(x,y)$. 于是我们有

\[\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\cdots)\]

这里 $[,]:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 是双线性反对称映射, 它给出了 $\mathfrak{g}$ 上的新的运算. 我们把它称为交换子(commutator).

于是, 我们看到, 对于任意李群, 它在原点的切空间 $\mathfrak{g}=T_1 G$ 具有典范的反对称双线性运算. 它表现为 $G$ 中乘法的 Taylor 级数中最低阶的非平凡项. 这个运算有下面的性质.

Proposition 3.12

(1) 对李群 $G_1$, $G_2$ 的任意同态 $\varphi:G_1\rightarrow G_2$, 相应的李代数之间的映射 $\varphi_*:\mathfrak{g}_1\rightarrow\mathfrak{g}_2$ 保持交换子运算:

\[\varphi_*[x,y]=[\varphi_* x,\varphi_* y],\quad\forall\ x,y\in\mathfrak{g}_1.\]

(2) 伴随作用保持交换子运算:

\[\mathrm{ad}_g([x,y])=[\mathrm{ad}_g x,\mathrm{ad}_g y].\]

(3)

\[\exp(x)\exp(y)\exp(-x)\exp(-y)=\exp([x,y]+\cdots),\]

其中 $\cdots$ 代表阶数大于等于 $3$ 的项.

译自

[Kirillov] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]

(1) 设 $G$ 是连通李群, $U$ 是单位元 $1$ 的任意一个开邻域, 则 $U$ 生成 $G$.

(2) 设 $f:G_1\rightarrow G_2$ 是李群间的同态, $G_2$ 连通. 且 $f_*:\ T_1G_1\rightarrow T_2G_2$ 是满射, 证明 $f$ 是满射.

Hint: (1) 要用到李群的李子群都是闭的.

Thm. 设 $G$ 是李群.

(1) $H$ 是 $G$ 的李子群, 则 $\bar{H}=H$.

(2) 任取 $G$ 的闭子群 $H$, 则 $H$ 是李子群.

设 $G$ 是一个李群, $H$ 是 $G$ 的一个李子群.

(1) 记 $\overline{H}$ 是 $H$ 在 $G$ 中的闭包. 证明 $\overline{H}$ 是 $G$ 的一个子群.

(2) 对每个 $x\in\overline{H}$, 陪集 $Hx$ 在 $\overline{H}$ 中是开的, 稠密的.

(3) 证明 $\overline{H}=H$, 即, 每个李子群是闭的.

类似的问题请参见问题876.

Remark:

这里如果根据 (3) 李子群 $H$ 满足 $\overline{H}=H$, 则 (2) 中的陪集 $Hx$, $x\in\overline{H}$ 就是 $H$ 自身. 然而 $H$ 在 $\overline{H}$ 中是开稠的是显见的.

因此, 原题中(2)应指出“请不使用 (3) 的结论证明“.

References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Exercise 2.1

连通李群 $G$ 的万有覆盖 $\tilde{G}$ 上具有典型的李群结构, 使得复叠映射 $p:\tilde{G}\rightarrow G$ 是李群同态, $\ker p=\pi_1(G)$. 并且此时 $\ker p$ 是 $\tilde{G}$ 的一个离散中心子群.

为阐述这一点, 我们考虑下面这个例子.

Example 1.1 假设圆周上放置了 $n$ 个数 $a_1,\ldots,a_n$. (不妨将这些数视为角度.) 现在有一个变换 $A$, 它将 $a_1$ 替换为 $\frac{a_n+a_2}{2}$, $a_2$ 替换为 $\frac{a_1+a_3}{2}$, 等等. 其中第二步中的 $a_1$ 来自于第一步的结果. 也就是, 如果它们以逆时针排列, 则依次将当前数的两旁的两个数取平均后代替当前的数.

如果将这个替换进行足够多次, 问它们彼此间隔是否差不多相等?

为了回答这个问题, 我们需要找出 $A$ 的特征值. 首先要明确指出的是, 这里 $A$ 是作用在 $S^1\times\cdots\times S^1=T^n$ 上的.

然而, 确切地计算其特征多项式从而求出特征根是一个相当困难的问题. 但我们观察到这个问题具有旋转对称性: 如果记 $B$ 为圆周的旋转变换, 它将圆周逆时针旋转 $2\pi/n$, 则 $BAB^{-1}=A$. 算子 $B$ 生成循环置换群 $\mathbb{Z}_n$, 我们将这种对称称为 $\mathbb{Z}_n$ 对称. 我们试图利用这个对称性去寻找 $A$ 的特征向量和特征值.

我们利用线性代数中的一个结果:

Claim: 若线性变换 $A,B$ 在向量空间上的作用是可换的, $V_\lambda$ 是 $B$ 的特征空间, 则 $AV_\lambda\subset V_\lambda$.

Pf. $BAV_{\lambda}=ABV_\lambda=AV_\lambda$, 因此 $AV_\lambda$ 必属于 $V_\lambda$.

Q.E.D of Claim.

于是, 若算子 $B$ 是对角化的(相应于对角矩阵), 且 $V$ 在 $B$ 的作用下分解为 $B$ 的不变子空间直和: $V=\oplus V_\lambda$, 则 $A$ 保持此分解. 于是问题约化为 $A$ 在每个 $V_\lambda$ 上对角化的问题. 而这相对来说比较容易.

这里, $B^n=\mathrm{id}$. $B$ 的特征值是单位元的 $n$ 次根. 记

\[\varepsilon=e^{2\pi i/n}\]

是 $1$ 的第 $i$ 个根. 容易验证, $\lambda=\varepsilon^k$, $k=0,1,\ldots,n-1$ 都是 $B$ 的特征值, 相应的特征向量为

\[v_k=(1,\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k}).\]

于是, $B$ 的每个特征子空间是一维的. 从而每个 $v_k$ 也是 $A$ 的特征向量. 事实上, 我们看到

\[Av_k=\frac{\varepsilon^k+\varepsilon^{-k}}{2}v_k.\]

Pf.

\[B^{-1}:\ v_k=(1,\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k})\mapsto v_{k+1}=(\varepsilon^k,\varepsilon^{2k},\ldots,\varepsilon^{(n-1)k,1})\]

为避免混淆, 记新的 $v_k$ 为 $v'_k=v_{k+1}$.

\[Av'_k=\frac{v'_{k-1}+v'_{k+1}}{2}=\frac{v_k+v_{k+2}}{2},\]

从而

\[BAB^{-1}v_k=BAv'_k=B\frac{v_k+v_{k+2}}{2}=\frac{v_{k-1}+v_{k+1}}{2}=\frac{\varepsilon^{-k}+\varepsilon^k}{2}v_k\]

Q.E.D

考虑 $S^2\subset\mathbb{R}^3$. 定义球面上的 Laplace 算子

\[
\begin{array}{rcl}
\Delta_{\text{sph}}:\ C^\infty(S^2)&\rightarrow& C^\infty(S^2)\\
f&\mapsto&\Delta_{\text{sph}}f:=(\Delta\tilde{f})|_{S^2}
\end{array}
\]

其中 $\tilde{f}$ 是 $f$ 到 $\mathbb{R}^3-\{0\}$ 上的延拓(在从原点出发的射线上取值等于在球面上相应点处的值). $\Delta$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上通常的 Laplace 算子.

易见, $\Delta_{\text{sph}}$ 是球面上的二阶微分算子, 可以在球面坐标下写出其确切的形式, 但不是非常好看.

对于许多应用, 重要的是我们要知道 $\Delta_{\text{sph}}$ 的特征值和特征函数. 特别的, 在量子力学(quantum mechanics)中提出下面的问题:

the eigenvalues are related to the energy levels of a hydrogen atom in quantum mechanical description.

但不幸的是, 使用蛮力的做法寻找特征函数, 得到的是一个十分难算的二阶微分方程.

不过很大程度上类似于一开始的例子, 易见这个问题也有某种对称性, 即群 $SO(3,\mathbb{R})$ 通过旋转作用在球面上. 但是, 试图重复刚才例子中的方法, 我们会碰到两个问题:

•  $SO(3,\mathbb{R})$ 不是有限生成群, 因此我们不能只使用一个或有限个算子 $B_i$, 并考虑它们的公共特征空间.
•  $SO(3,\mathbb{R})$ 不可交换, 因此不同的算子不能同时被对角化.

李群理论的目标就是创造工具来解决这些(或类似于这些的)问题. 简言之, 第一个问题的答案是 $SO(3,\mathbb{R})$ 在某种意义下是有限生成的, 即, 它被三个绕 $x,y,z$ 轴旋转的“无穷小旋转”的生成元生成.(详见例3.10) (也可参阅问题793的答案.)

第二个问题的答案是, 我们并不是将 $C^\infty(S^2)$ 分解为关于算子 $B\in SO(3,\mathbb{R})$ 的特征子空间的直和, 而是将它分解为 $SO(3,\mathbb{R})$ 的“不可约表示”. 为此, 我们需要发展 $SO(3,\mathbb{R})$ 的表示论理论. 我们将在 Chapter 5 中做这个工作并完成此例子的分析.

译自

Alexander Kirillov, Jr.

Introduction to Lie Groups and Lie Algebras