问题及解答

(1) 设 $G$ 是连通李群, $U$ 是单位元 $1$ 的任意一个开邻域, 则 $U$ 生成 $G$.

(2) 设 $f:G_1\rightarrow G_2$ 是李群间的同态, $G_2$ 连通. 且 $f_*:\ T_1G_1\rightarrow T_2G_2$ 是满射, 证明 $f$ 是满射.

Hint: (1) 要用到李群的李子群都是闭的.

(1) 设 $H$ 是由 $U$ 生成的子群. 则 $H$ 是 $G$ 中的开集. 因为对任意 $h\in H$, $h\cdot U\subset H$ 是 $h$ 在 $G$ 中的开邻域.

由于 $H$ 是流形 $G$ 的开子集, 故是 $G$ 的子流形. 因此 $H$ 是 $G$ 的李子群.

由于李群的李子群是闭的, 故 $H$ 是 $G$ 中非空既开又闭的子集, 而 $G$ 是连通的. 故 $H=G$.

$H$ 具体可以写成如下的形式

\[H=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}V^k,\quad\text{其中}\ V=U\cap U^{-1}.\]

$f_*$ 是满射, 故根据反函数定理, $f$ 在 $1\in G_2$ 的某个开邻域 $U$ 上是满射. 由于群同态的像是一个子群, 又根据 (1), $U$ 可生成 $G_2$, 故 $f$ 是满射.