问题及解答

李群 $G$ 对于其中的李子群 $H$, 当然也可以作陪集 $G/H$. 下面的定理说明陪集实际上是一个流形.

Theorem 2.10

(1) 设 $G$ 是 $n$ 维李群, $H\subset G$ 是 $k$ 维李子群. 则陪集 $G/H$ 上可赋予一个自然的微分结构, 使之成为 $n-k$ 维流形, 并使得典范映射

\[p:\ G\rightarrow G/H\]

是纤维丛, 其纤维微分同胚于 $H$. 在 $\bar{1}=p(1)$ 处的切空间为

\[T_{\bar{1}}(G/H)=T_1 G/T_1 H.\]

(2) 若 $H$ 是正规李子群, 则 $G/H$ 具有典范结构而成为李群.

Corollary 2.11.

(1) 若 $H$ 是连通李子群, 则 $G$ 的连通分支个数等于 $G/H$ 的连通分支个数, 即 $\pi_0(G)=\pi_0(G/H)$. 特别的, 若 $H$, $G/H$ 都是连通的, 则 $G$ 也是连通的.

(2) 若 $G, H$ 都连通, 则存在下面的群正合序列

\[\pi_2(G/H)\rightarrow\pi_1(H)\rightarrow\pi_1(G)\rightarrow\pi_1(G/H)\rightarrow\{1\}\]

Remark:

这个推论是由更一般的关于任意纤维丛同伦群的长正合序列导出的.

记 $p:G\rightarrow G/H$ 是典范映射. 设 $g\in G$, $\bar{g}=p(g)\in G/H$, 则 $g.H$ 是 $G$ 中的一个子流形. 这是因为 $H$ 是在微分同胚 $x\mapsto gx$ 之下的像. 选取一个子流形 $M\subset G$, 使得 $g\in M$, 且 $M$ 横截于流形 $gH$. 即

\[
T_g G=(T_g(gH))\oplus T_g M,
\]

这推出 $\dim M=\dim G-\dim H$.

令 $U\subset M$ 是 $g\in M$ 的一个充分小的邻域, 则集合 $UH=\{uh\mid u\in U, h\in H\}$ 是 $G$ 的开集. (这个很容易由反函数定理应用到映射 $U\times H\rightarrow G$ 而推出.)

考虑 $\overline{U}=p(U)$, 由于 $p^{-1}(\overline{U})=UH$ (这是根据 $p$ 的定义), $\overline{U}$ 是 $\bar{g}$ 在 $GH$ 中的开集 (根据商拓扑). 且映射 $U\rightarrow\overline{U}$ 是同胚.

这给出了 $G/H$ 的一个局部图卡, 并且同时证明了 $G\rightarrow G/H$ 是一个纤维为 $H$ 的纤维丛.

我们留给读者去证明这些图卡之间的迁移函数是光滑的, 并且这个光滑结构不依赖于 $g$, $M$ 的选取.

上面的论述也证明了 $p_* : T_g G\rightarrow T_{\bar{g}}(G/H)$ 的核(kernel) 等于 $T_g(gH)$. 这里

\[
\ker p_*=\{v\in T_g G\mid p_*(v)=0\}
\]

特别的, 对于 $g=1$, 这给出了一个同构 $T_{\bar{1}}(G/H)=T_1 G/ T_1 H$.

Corollary 的证明:

(1) 根据上面定理的结论, $p: G\rightarrow G/H$ 是一个纤维丛, 也即, 局部的, 设 $U\subset G/H$ 是连通开集, 则 $p^{-1}(U)\cong U\times H$. 故 $G$ 的连通分支数等于 $G/H$ 的连通分支数.

特别的, 当 $H$ 和 $G/H$ 都是连通的, 可推出 $G$ 也是连通的.

(2) 假设 $G$ 和 $H$ 都是连通的.