证明:

1. 对于辛群 $Sp(n;\mathbb{R})$ 中的任何元素 $A$, 都有 $\det A=1$. 对于 $Sp(n;\mathbb{C})$ 也正确.

2. $Sp(n;\mathbb{R})$ 和 $Sp(n;\mathbb{C})$ 都是矩阵李群(Matrix Lie Group).

证明: $SL(n,\mathbb{R})$ 在 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的中心是由非零数量矩阵构成的乘法群. $\{aI_n\mid a\in\mathbb{R}^*\}$.

回忆群 $G$ 的中心 $\zeta(G)$ (或用 $C(G)$ 表示) 为与 $G$ 中所有元素可交换的元素构成的集合.

\[\zeta(G)=\{x\in G\mid xg=gx,\quad\forall\ g\in G\}.\]

W.Y.Hsiang, Lectures on Lie groups

Roger Carter, Graeme Segal, Ian Macdonald, Lectures on Lie groups and Lie algebras.

http://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)

即若 $G$ 是连通 Abelian 李群, 则 $G\cong T^k\times\mathbb{R}^s$.

(i) 设 $A\in M(n,\mathbb{R})$, 证明级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$ 是绝对收敛的. 我们一般记为 $e^A$. 证明 $\|e^A\|\leqslant e^{\|A\|}$.

(ii) 证明, 若 $AB=BA$, 则有 $e^{A+B}=e^A e^B=e^B e^A$. 从而有 $(e^A)^{-1}=e^{-A}$, 也即 $e^A\in GL(n,\mathbb{R})$.

更一般的, 当 $[A,B]=\lambda I_n$ 时, $e^A e^B=e^B e^A e^{[A,B]}$. 详见问题881.

(iii) 证明: $e^{(\cdot)}:\ M(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$ 是解析的.

(iv) 利用隐函数定理证明映射 $A\mapsto e^A$ 在零矩阵附近有惟一的逆. 将此逆映射记为 $A\mapsto\log A$, 并注意到 $\log I_n=0$.

(v) 证明: 若 $\|I_n -A\| < 1$, 则函数 $\log A$ 由下面的绝对收敛级数给出:
\[
\log A=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-I_n)^n.
\]

(vi) 若 $\|I_n -A\| < 1$, $\|I_n -B\| < 1$, 并且 $AB=BA$, 证明
\[
\log (AB)=\log A+\log B,
\]
特别的, $\log A^{-1}=-\log A$.

更一般的, 我们有下面的结论

Claim1. 对每个实 $n$ 阶方阵 $A$, 若 $A$ 的特征值均是正的, 则 $A$ 有实的对数矩阵 $\log A$. 即存在实矩阵 $X$, s.t. $e^X=A$. 进一步的, 若 $X$ 的特征值 $\xi$ 满足 $-\pi < Im(\xi) < \pi$, 则 $X$ 是惟一的.

Claim2. 在相同条件下, $A$ 有一个实的平方根, 即存在实矩阵 $X$, s.t. $X^2=A$. 并且, 若 $X$ 的特征值 $\lambda=\rho e^{i\theta}$ 满足 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$, 则 $X$ 是惟一的.

(i) 设 $GL(n,\mathbb{R})$ 是 $n$ 阶非奇异方阵的集合. $I_n$ 是 $n$ 阶单位方阵. 证明: 在 $I_n$ 的在 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的某个小邻域内的每个方阵 $A$, 都存在惟一的平方根. 即存在 $B\in GL(n,\mathbb{R})$, 使得 $B^2=A$.

(ii) 令 $M(n,\mathbb{R})$ 为所有 $n$ 阶方阵组成的集合. 记 $\|A\|=\bigl(\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}\bigr)^{1/2}$. 证明, 对于 $||I_n-A|| < 1$ 的 $A\in M(n,\mathbb{R})$,
\[
B=I_n-\frac{1}{2}(I_n -A)+\frac{1}{2^2 2!}(I_n -A)^2+\cdots+(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}(I_n -A)^n-\cdots
\]
是绝对收敛的. 请直接验证 $B^2=A$ (似乎不正确).

证明:

\[GL(n,\mathbb{R}) < GL(n,\mathbb{C}) < GL(2n,\mathbb{R})\]

仿照问题890, 构造映射 $S^{4n+3}\rightarrow\mathbb{H}P^n$, 确定 $\mathbb{H}P^n$ 中任一点的原像是什么?

首先是考虑 $S^3\rightarrow S^2$ 上一个映射. 纤维化是一个非常特殊的映射, 它将底空间 $S^2$ 和纤维 $S^1$ 结合成 $S^3$, 称为 fibration 的全空间.

[Def1] 利用 $\bar{\mathbb{C}}$ (黎曼球面)

\[
\begin{array}{rcl}
f:\ S^3&\rightarrow & S^2=\bar{\mathbb{C}}\\
(z_1,z_2)&\mapsto &\frac{z_2}{z_1}
\end{array}
\]

这里 $\frac{z_2}{0}=\infty$. 任取 $q\in\mathbb{H}$. 计算 $q^{-1}pq$, 这样定义了一个映射

\[
\begin{array}{rcl}
R_q:\ \mathbb{R}^3 &\rightarrow &\mathbb{R}^3\\
p &\mapsto & q^{-1}pq
\end{array}
\]

我们有

Claim: (1) $q^{-1}pq$ 也是纯四元数.

(2) $R_q$ 是线性的. 即有

\[
\begin{aligned}
R_q(\lambda p)&=\lambda R_q(p),\quad\forall\ \lambda\in\mathbb{R}\\
R_q(p+p')&=R_q(p)+R_q(p')
\end{aligned}
\]

(3) $R_q=R_{\lambda q}$, $\forall\ \lambda\in\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

因此, 只要考虑 $R_q$, 其中 $|q|=1$

(4) $|R_q(p)|=|p|$

[Def2] 利用 $\mathbb{H}$ (四元数体)

设 $p=xi+yj+zk$, 这是一个纯四元数(pure quaternion)

一般的,令

\[S^{2n+1}=\{(z_0,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}\ :\ |z_0|^2+|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2=1\}.\]

群 $S^1$ 以下面的方式作用在 $S^{2n+1}$ 上,

\[
\begin{array}{rcl}
S^1\times S^{2n+1}&\rightarrow&S^{2n+1}\\
(e^{i\theta},\ (z_0,\ldots,z_n))&\mapsto&(e^{i\theta}z_0,\ldots,e^{i\theta}z_n)
\end{array}
\]

证明这个作用是自由的, 且所有轨道的集合为 $S^{2n+1}/S^1\cong\mathbb{C}P^n$.

注: 称 $S^{2n+1}$ 中的点 $(z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n)$ 和 $(w_0,w_1,w_2,\ldots,w_n)$ 是等价的, 如果存在 $\lambda=e^{i\theta}\in S^1$, 使得 $w_i=\lambda z_i$, $\forall\ i=0,1,2,\ldots,n$.  记作 $(z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n)\sim(w_0,w_1,w_2,\ldots,w_n)$, 等价类记为 $[z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n]$. 

于是

\[
S^{2n+1}/S^1=\{[z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n]\}\cong\mathbb{C}P^n=P_n\mathbb{C}.
\]

设 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 则对任一点 $m\in M$, 定义它的轨道(orbit)为

\[\mathcal{O}_m=Gm=\{g.m\mid g\in G\}.\]

Lemma 2.18

设 $G$ 作用在流形 $M$ 上. 取点 $m\in M$, 并令

\[H=\mathrm{Stab}_G(m)=\{g\in G\mid g.m=m\}.\]

则 $H$ 是 $G$ 中的李子群, 并且

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ G/H&\hookrightarrow&M\\
[g]&\mapsto& g.m
\end{array}
\]

是单浸入. (这里 $[g]$ 是跟 $m$ 有关系的.) $\varphi$ 的像实际上就是轨道 $\mathcal{O}_m$.

Corollary 2.19.

轨道 $\mathcal{O}_m$ 是 $M$ 的浸入子流形, 其切空间 $T_m\mathcal{O}_m=T_1 G/T_1 H$. 若 $\mathcal{O}_m$ 是闭的, 则

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ G/\mathrm{Stab}(m)&\rightarrow&\mathcal{O}_m\\
[g]&\mapsto& g.m
\end{array}
\]

是一个微分同胚.

一个重要的特殊情形是当 $G$ 在 $M$ 上的作用是可迁的(transitive), 即此时只有一个轨道.

Definition 2.20.

流形 $M$ 上如果有群作用 $G$, 并且作用是可迁的, 则称 $M$ 是 $G$-齐性空间.

作为 Corollary 2.19 的直接推论, 齐性空间微分同胚于陪集 $G/H$. 结合 Theorem 2.10, 我们有

Corollary 2.21.

设 $M$ 是一个 $G$-齐性空间, 取点 $m\in M$. 则映射

\[
\begin{array}{rcl}
\phi:\ G&\rightarrow&M\\
g&\mapsto& g.m
\end{array}
\]

是 $M$ 上的一个纤维丛, 纤维是 $H=\mathrm{Stab}_G(m)$.

Example 2.22

(1) 考虑 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 在球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ 上的作用. 由于群作用是可迁的, 因此 $S^{n-1}$ 是一个齐性空间, 并且有纤维丛

\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{ccc}
\mathrm{SO}(n-1,\mathbb{R}) & \ra{} & \mathrm{SO}(n,\mathbb{R}) \\
 & & \da{} \\
 & & S^{n-1}\\
\end{array}
\]

(2) 考虑 $\mathrm{SU}(n)$ 在球面 $S^{2n-1}\subset\mathbb{C}^n$ 上的作用. 由于群作用是可迁的, 因此 $S^{2n-1}$ 是一个齐性空间, 并且有纤维丛

\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SU}(n-1) & \ra{} & \mathrm{SU}(n) \\
 & & \da{} \\
 & & S^{2n-1}\\
\end{array}
\]

特别的,

\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}) & \ra{} &\mathrm{SO}(4,\mathbb{R}) \\
 & & \da{} \\
 & & S^{3}\\
\end{array}
\]

\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SU}(1) & \ra{} & \mathrm{SU}(2) \\
 & & \da{} \\
 & & S^{3}\\
\end{array}
\]

\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) & \ra{} &\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}) \\
 & & \da{} \\
 & & S^{2}\\
\end{array}
\]

注意到 $\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})\cong S^1$, $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})\cong\mathbb{R}P^3$ (参见问题792)

实际上, 集合如果具有李群作用, 则可以用来定义集合上的光滑结构. 若 $M$ 是一个集合(尚未有光滑结构), 李群 $G$ 在 $M$ 上的作用是可迁的, 设 $H=\mathrm{Stab}_G(m)$, 则 $M$ 与 $G/H$ 之间存在双射. 于是根据 Theorem 2.10, $M$ 上具有光滑结构, 成为 $\dim G-\dim H$ 维光滑流形.

Example 2.23.

定义 (flag). $\mathbb{R}^n$ 中的旗(flag)是指一列具有包含关系的子向量空间

\[\{0\}\subset V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_n=\mathbb{R}^n,\quad\dim V_i=i.\]

令 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中所有 flag 的集合. 可以证明 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上可赋予典范的微分结构, 从而成为一个光滑流形. 我们称之为旗流形(flag manifold) (有时称为 flag variety).

$\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上微分结构的最简单定义方式是注意到一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 作用在 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上. ($\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 就某个 $i$ 维子空间 $V_i$ 映射为另一个 $i$ 维子空间 $W_i$, 并且保持子空间包含关系. 因此它将一个 flag 变换为另一个 flag.) 而且, 这个作用是可迁的. 这是因为通过选取合适的基, 任意一个 flag 可以变换为一个标准的 flag

\[V^{st}=\bigl(\{0\}\subset\langle e_1\rangle\subset\langle e_1,e_2\rangle\subset\cdots\subset\langle e_1,\ldots,e_{n-1}\rangle\subset\mathbb{R}^n\bigr)\]

其中 $\langle e_1,\ldots,e_k\rangle$ 表示由 $e_1,\ldots,e_k$ 所张成的子空间. 于是, $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 可以等同为 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})/B(n,\mathbb{R})$, 其中

\[B(n,\mathbb{R})=\mathrm{Stab}V^{st}\]

是由所有可逆上三角矩阵组成的群, 即保持 $V^{st}$ 不变的所有元素的集合. 根据上面的结论, $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 成为一个流形, 且维数为

\[n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.\]