问题及解答

(i) 设 $GL(n,\mathbb{R})$ 是 $n$ 阶非奇异方阵的集合. $I_n$ 是 $n$ 阶单位方阵. 证明: 在 $I_n$ 的在 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的某个小邻域内的每个方阵 $A$, 都存在惟一的平方根. 即存在 $B\in GL(n,\mathbb{R})$, 使得 $B^2=A$.

(ii) 令 $M(n,\mathbb{R})$ 为所有 $n$ 阶方阵组成的集合. 记 $\|A\|=\bigl(\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}\bigr)^{1/2}$. 证明, 对于 $||I_n-A|| < 1$ 的 $A\in M(n,\mathbb{R})$,
\[
B=I_n-\frac{1}{2}(I_n -A)+\frac{1}{2^2 2!}(I_n -A)^2+\cdots+(-1)^n\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}(I_n -A)^n-\cdots
\]
是绝对收敛的. 请直接验证 $B^2=A$ (似乎不正确).