证明: $SL(n,\mathbb{R})$ 在 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的中心是由非零数量矩阵构成的乘法群. $\{aI_n\mid a\in\mathbb{R}^*\}$.
回忆群 $G$ 的中心 $\zeta(G)$ (或用 $C(G)$ 表示) 为与 $G$ 中所有元素可交换的元素构成的集合.
\[\zeta(G)=\{x\in G\mid xg=gx,\quad\forall\ g\in G\}.\]
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首先数量矩阵 $aI_n$ 显然可与 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的任何矩阵交换.
反过来, 设 $A=(a_{ij})_n\in\zeta(SL(n,\mathbb{R}))$. 记 $E_{ij}$ 为仅在 $(i,j)$ 处为 1, 其余是 0 的基本矩阵. 则
\[
I_n+E_{ij}\in SL(n,\mathbb{R}),\quad\text{当}\ i\neq j\ \text{时}.
\]
从而 $A$ 与 $I_n+E_{ij}$ 可交换, 即 $A(I_n+E_{ij})=(I_n+E_{ij})A$. 这推出 $AE_{ij}=E_{ij}A$. 也就是
\[
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 & a_{1i} & 0 & \cdots & 0\\
0 & \cdots & 0 & a_{2i} & 0 & \cdots & 0\\
\vdots& & & \vdots & & & \vdots\\
0 & \cdots & 0 & a_{ni} & 0 & \cdots & 0\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \vdots\\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn}\\
\vdots & & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 0\\
\end{pmatrix}
\]
从而
\begin{cases}
a_{ki}=0,&i\neq k,\\
a_{ii}=a_{jj},&\ \forall i,j
\end{cases}
References:
Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, GTM 80. Springer-Verlag. (P71, 3.2.5)