[2.3]轨道和齐性空间
设 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 则对任一点 $m\in M$, 定义它的轨道(orbit)为
\[\mathcal{O}_m=Gm=\{g.m\mid g\in G\}.\]
Lemma 2.18
设 $G$ 作用在流形 $M$ 上. 取点 $m\in M$, 并令
\[H=\mathrm{Stab}_G(m)=\{g\in G\mid g.m=m\}.\]
则 $H$ 是 $G$ 中的李子群, 并且
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ G/H&\hookrightarrow&M\\
[g]&\mapsto& g.m
\end{array}
\]
是单浸入. (这里 $[g]$ 是跟 $m$ 有关系的.) $\varphi$ 的像实际上就是轨道 $\mathcal{O}_m$.
Corollary 2.19.
轨道 $\mathcal{O}_m$ 是 $M$ 的浸入子流形, 其切空间 $T_m\mathcal{O}_m=T_1 G/T_1 H$. 若 $\mathcal{O}_m$ 是闭的, 则
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi:\ G/\mathrm{Stab}(m)&\rightarrow&\mathcal{O}_m\\
[g]&\mapsto& g.m
\end{array}
\]
是一个微分同胚.
一个重要的特殊情形是当 $G$ 在 $M$ 上的作用是可迁的(transitive), 即此时只有一个轨道.
Definition 2.20.
流形 $M$ 上如果有群作用 $G$, 并且作用是可迁的, 则称 $M$ 是 $G$-齐性空间.
作为 Corollary 2.19 的直接推论, 齐性空间微分同胚于陪集 $G/H$. 结合 Theorem 2.10, 我们有
Corollary 2.21.
设 $M$ 是一个 $G$-齐性空间, 取点 $m\in M$. 则映射
\[
\begin{array}{rcl}
\phi:\ G&\rightarrow&M\\
g&\mapsto& g.m
\end{array}
\]
是 $M$ 上的一个纤维丛, 纤维是 $H=\mathrm{Stab}_G(m)$.
Example 2.22
(1) 考虑 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 在球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ 上的作用. 由于群作用是可迁的, 因此 $S^{n-1}$ 是一个齐性空间, 并且有纤维丛
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{ccc}
\mathrm{SO}(n-1,\mathbb{R}) & \ra{} & \mathrm{SO}(n,\mathbb{R}) \\
& & \da{} \\
& & S^{n-1}\\
\end{array}
\]
(2) 考虑 $\mathrm{SU}(n)$ 在球面 $S^{2n-1}\subset\mathbb{C}^n$ 上的作用. 由于群作用是可迁的, 因此 $S^{2n-1}$ 是一个齐性空间, 并且有纤维丛
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SU}(n-1) & \ra{} & \mathrm{SU}(n) \\
& & \da{} \\
& & S^{2n-1}\\
\end{array}
\]
特别的,
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}) & \ra{} &\mathrm{SO}(4,\mathbb{R}) \\
& & \da{} \\
& & S^{3}\\
\end{array}
\]
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SU}(1) & \ra{} & \mathrm{SU}(2) \\
& & \da{} \\
& & S^{3}\\
\end{array}
\]
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{c}
\mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) & \ra{} &\mathrm{SO}(3,\mathbb{R}) \\
& & \da{} \\
& & S^{2}\\
\end{array}
\]
注意到 $\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})\cong S^1$, $\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})\cong\mathbb{R}P^3$ (参见问题792)
实际上, 集合如果具有李群作用, 则可以用来定义集合上的光滑结构. 若 $M$ 是一个集合(尚未有光滑结构), 李群 $G$ 在 $M$ 上的作用是可迁的, 设 $H=\mathrm{Stab}_G(m)$, 则 $M$ 与 $G/H$ 之间存在双射. 于是根据 Theorem 2.10, $M$ 上具有光滑结构, 成为 $\dim G-\dim H$ 维光滑流形.
Example 2.23.
定义 (flag). $\mathbb{R}^n$ 中的旗(flag)是指一列具有包含关系的子向量空间
\[\{0\}\subset V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_n=\mathbb{R}^n,\quad\dim V_i=i.\]
令 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中所有 flag 的集合. 可以证明 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上可赋予典范的微分结构, 从而成为一个光滑流形. 我们称之为旗流形(flag manifold) (有时称为 flag variety).
$\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上微分结构的最简单定义方式是注意到一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 作用在 $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 上. ($\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 就某个 $i$ 维子空间 $V_i$ 映射为另一个 $i$ 维子空间 $W_i$, 并且保持子空间包含关系. 因此它将一个 flag 变换为另一个 flag.) 而且, 这个作用是可迁的. 这是因为通过选取合适的基, 任意一个 flag 可以变换为一个标准的 flag
\[V^{st}=\bigl(\{0\}\subset\langle e_1\rangle\subset\langle e_1,e_2\rangle\subset\cdots\subset\langle e_1,\ldots,e_{n-1}\rangle\subset\mathbb{R}^n\bigr)\]
其中 $\langle e_1,\ldots,e_k\rangle$ 表示由 $e_1,\ldots,e_k$ 所张成的子空间. 于是, $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 可以等同为 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})/B(n,\mathbb{R})$, 其中
\[B(n,\mathbb{R})=\mathrm{Stab}V^{st}\]
是由所有可逆上三角矩阵组成的群, 即保持 $V^{st}$ 不变的所有元素的集合. 根据上面的结论, $\mathcal{B}_n(\mathbb{R})$ 成为一个流形, 且维数为
\[n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.\]